Anillo de clases residuales

Proporcionamos ejercicios sobre el anillo de clases residuales.

RESUMEN TEÓRICO
  • Sabemos que para $m>1$ entero, $\mathbb{Z}_m=\{\;\bar{0},\;\bar{1},\;\bar{2},\;\ldots,\;\overline{m-1}\;\}$ es un grupo abeliano con la operación $+$ definida mediante $\bar{a}+\bar b=\bar c,$ siendo $c$ el resto de la división euclídea de $a+b$ entre $m.$ Podemos definir de forma natural en $\mathbb{Z}_m$ la operación $\bar a\cdot\bar b=\bar d,$ siendo $d$ el resto de la división euclídea de $ ab$ entre $m.$ Pues bien, con estas dos operaciones, $\mathbb{Z}_m$ es anillo conmutativo y unitario.
  • Teorema. Sea $m>1$ entero y sea $\mathbb{Z}_m=\{\;\bar{0},\;\bar{1},\;\bar{2},\;\ldots,\;\overline{m-1}\;\}$ el conjunto de las clases residuales módulo $m$. Entonces, $(\mathbb{Z}_m,+,\cdot)$ es un anillo conmutativo y unitario con las operaciones:
    Suma: $\bar{a}+\bar b=\bar c,$ siendo $c$ el resto de la división euclídea de $a+b$ entre $m.$
    Producto: $\bar a\cdot\bar b=\bar d,$ siendo $d$ el resto de la división euclídea de $ ab$ entre $m.$
  • El elemento neutro en $ \mathbb{Z}_m $ para la suma es $\bar 0$ y para el producto es $ \bar 1 .$ A $(\mathbb{Z}_m,+,\cdot)$ se le llama anillo de clases residuales módulo $m.$
  • Nota. No ha lugar a confusión si $ \mathbb{Z}_m $ se escribe abreviadamente en la forma $\mathbb{Z}_m=\left\{\;0,\;1,\;2,\;\ldots,\;m-1\;\right\}.$
    Enunciado
  1. Construir las tablas de Cayley de la suma y producto del anillo $\mathbb{Z}_3$ de las clases residuales módulo $3$. Determinar los opuestos de cada elemento de $\mathbb{Z}_3$. Determinar el inverso de cada elemento cuando éste exista.
  2. Construir las tablas de Cayley de la suma y producto del anillo $\mathbb{Z}_4$ de las clases residuales módulo $4$. Determinar los opuestos de cada elemento de $\mathbb{Z}_3$. Determinar el inverso de cada elemento cuando éste exista.
  3. Construir las tablas de Cayley de la suma y producto del anillo $\mathbb{Z}_6$ de las clases residuales módulo $6$. Determinar los opuestos de cada elemento de $\mathbb{Z}_6$. Determinar el inverso de cada elemento cuando éste exista.
  4. Construir las tablas de Cayley de la suma y producto del anillo $\mathbb{Z}_2$ de las clases residuales módulo $2$. Determinar los opuestos de cada elemento de $\mathbb{Z}_2$. Determinar el inverso de cada elemento cuando éste exista.
    Solución
  1. Tenemos $\mathbb{Z}_3=\{0,1,2\}$ y las correspondientes tablas de Cayley son: $$\begin{array}{r|*{3}{r}}{+}&0&1&2\\\hline
    {}0&0&1&2\\
    {}1&1&2&0\\
    {}2&2&0&1
    \end{array}\qquad\begin{array}{r|*{3}{r}}{\cdot}&0&1&2\\\hline
    {}0&0&0&0\\
    {}1&0&1&2\\
    {}2&0&2&1
    \end{array}$$ Los opuestos e inversos son: $$\begin{array}{r|*{3}{r}}{x}&0&1&2\\\hline
    {}-x&0&2&1
    \end{array}\qquad \begin{array}{r|*{3}{r}}{x\;\;}&0&1&2\\\hline
    {}x^{-1}&\not\exists&1&2
    \end{array}$$
  2. Tenemos $\mathbb{Z}_4=\{0,1,2,3\}$ y las correspondientes tablas de Cayley son: $$\begin{array}{r|*{4}{r}}{+}&0&1&2&3\\\hline
    {}0&0&1&2&3\\
    {}1&1&2&3&0\\
    {}2&2&3&0&1\\
    {}3&3&0&1&2
    \end{array}\qquad \begin{array}{r|*{4}{r}}{\cdot}&0&1&2&3\\\hline
    {}0&0&0&0&0\\
    {}1&0&1&2&3\\
    {}2&0&2&0&2\\
    {}3&0&3&2&1
    \end{array}$$ Los opuestos e inversos son: $$\begin{array}{r|*{4}{r}}{x}&0&1&2&3\\\hline
    {}-x&0&3&2&1
    \end{array}\qquad \begin{array}{r|*{4}{r}}{x\;\;}&0&1&2&3\\\hline
    {}x^{-1}&\not\exists&1&\not\exists&3
    \end{array}$$
  3. Tenemos $\mathbb{Z}_6=\{0,1,2,3,4,5\}$ y las correspondientes tablas de Cayley son: $$\begin{array}{r|*{6}{r}}{+}&0&1&2&3&4&5\\\hline
    {}0&0&1&2&3&4&5\\
    {}1&1&2&3&4&5&0\\
    {}2&2&3&4&5&0&1\\
    {}3&3&4&5&0&1&2\\
    {}4&4&5&0&1&2&3\\
    {}5&5&0&1&2&3&4
    \end{array}\qquad \begin{array}{r|*{6}{r}}{\cdot}&0&1&2&3&4&5\\\hline
    {}0&0&0&0&0&0&0\\
    {}1&0&1&2&3&4&5\\
    {}2&0&2&4&0&2&4\\
    {}3&0&3&0&3&0&3\\
    {}4&0&4&2&0&4&2\\
    {}5&0&5&4&3&2&1
    \end{array}$$ Los opuestos e inversos son:$$\begin{array}{r|*{6}{r}}{x}&0&1&2&3&4&5\\\hline
    {}-x&0&5&4&3&2&1
    \end{array}\qquad \begin{array}{r|*{6}{r}}{x\;\;}&0&1&2&3&4&5\\\hline
    {}x^{-1}&\not\exists&1&\not\exists&\not\exists&\not\exists&5
    \end{array}$$
  4. Tenemos $\mathbb{Z}_2=\{0,1\}$ y las correspondientes tablas de Cayley son: $$\begin{array}{r|*{2}{r}}{+}&0&1\\\hline
    {}0&0&1\\
    {}1&1&0
    \end{array}\qquad \begin{array}{r|*{2}{r}}{\cdot}&0&1\\\hline
    {}0&0&0\\
    {}1&0&1
    \end{array}$$ Los opuestos e inversos son: $$\begin{array}{r|*{2}{r}}{x}&0&1\\\hline
    {}-x&0&1
    \end{array}\qquad \begin{array}{r|*{2}{r}}{x\;\;}&0&1\\\hline
    {}x^{-1}&\not\exists&1
    \end{array}$$
Esta entrada ha sido publicada en Álgebra y etiquetada como , , . Guarda el enlace permanente.