Anillo de clases residuales

Proporcionamos ejercicios sobre el anillo de clases residuales.

Enunciado
1. Construir las tablas de Cayley de la suma y producto del anillo $\mathbb{Z}_3$ de las clases residuales módulo $3$. Determinar los opuestos de cada elemento de $\mathbb{Z}_3$. Determinar el inverso de cada elemento cuando éste exista.
2. Construir las tablas de Cayley de la suma y producto del anillo $\mathbb{Z}_4$ de las clases residuales módulo $4$. Determinar los opuestos de cada elemento de $\mathbb{Z}_4$. Determinar el inverso de cada elemento cuando éste exista.
3. Construir las tablas de Cayley de la suma y producto del anillo $\mathbb{Z}_6$ de las clases residuales módulo $6$. Determinar los opuestos de cada elemento de $\mathbb{Z}_6$. Determinar el inverso de cada elemento cuando éste exista.
4. Construir las tablas de Cayley de la suma y producto del anillo $\mathbb{Z}_2$ de las clases residuales módulo $2$. Determinar los opuestos de cada elemento de $\mathbb{Z}_2$. Determinar el inverso de cada elemento cuando éste exista.

Solución
1. Tenemos $\mathbb{Z}_3=\{0,1,2\}$ y las correspondientes tablas de Cayley son: $$\begin{array}{r|*{3}{r}}{+}&0&1&2\\\hline
   {}0&0&1&2\\
   {}1&1&2&0\\
   {}2&2&0&1
   \end{array}\qquad\begin{array}{r|*{3}{r}}{\cdot}&0&1&2\\\hline
   {}0&0&0&0\\
   {}1&0&1&2\\
   {}2&0&2&1
   \end{array}$$ Los opuestos e inversos son: $$\begin{array}{r|*{3}{r}}{x}&0&1&2\\\hline
   {}-x&0&2&1
   \end{array}\qquad \begin{array}{r|*{3}{r}}{x\;\;}&0&1&2\\\hline
   {}x^{-1}&\not\exists&1&2
   \end{array}$$
2. Tenemos $\mathbb{Z}_4=\{0,1,2,3\}$ y las correspondientes tablas de Cayley son: $$\begin{array}{r|*{4}{r}}{+}&0&1&2&3\\\hline
   {}0&0&1&2&3\\
   {}1&1&2&3&0\\
   {}2&2&3&0&1\\
   {}3&3&0&1&2
   \end{array}\qquad \begin{array}{r|*{4}{r}}{\cdot}&0&1&2&3\\\hline
   {}0&0&0&0&0\\
   {}1&0&1&2&3\\
   {}2&0&2&0&2\\
   {}3&0&3&2&1
   \end{array}$$ Los opuestos e inversos son: $$\begin{array}{r|*{4}{r}}{x}&0&1&2&3\\\hline
   {}-x&0&3&2&1
   \end{array}\qquad \begin{array}{r|*{4}{r}}{x\;\;}&0&1&2&3\\\hline
   {}x^{-1}&\not\exists&1&\not\exists&3
   \end{array}$$
3. Tenemos $\mathbb{Z}_6=\{0,1,2,3,4,5\}$ y las correspondientes tablas de Cayley son: $$\begin{array}{r|*{6}{r}}{+}&0&1&2&3&4&5\\\hline
   {}0&0&1&2&3&4&5\\
   {}1&1&2&3&4&5&0\\
   {}2&2&3&4&5&0&1\\
   {}3&3&4&5&0&1&2\\
   {}4&4&5&0&1&2&3\\
   {}5&5&0&1&2&3&4
   \end{array}\qquad \begin{array}{r|*{6}{r}}{\cdot}&0&1&2&3&4&5\\\hline
   {}0&0&0&0&0&0&0\\
   {}1&0&1&2&3&4&5\\
   {}2&0&2&4&0&2&4\\
   {}3&0&3&0&3&0&3\\
   {}4&0&4&2&0&4&2\\
   {}5&0&5&4&3&2&1
   \end{array}$$ Los opuestos e inversos son:$$\begin{array}{r|*{6}{r}}{x}&0&1&2&3&4&5\\\hline
   {}-x&0&5&4&3&2&1
   \end{array}\qquad \begin{array}{r|*{6}{r}}{x\;\;}&0&1&2&3&4&5\\\hline
   {}x^{-1}&\not\exists&1&\not\exists&\not\exists&\not\exists&5
   \end{array}$$
4. Tenemos $\mathbb{Z}_2=\{0,1\}$ y las correspondientes tablas de Cayley son: $$\begin{array}{r|*{2}{r}}{+}&0&1\\\hline
   {}0&0&1\\
   {}1&1&0
   \end{array}\qquad \begin{array}{r|*{2}{r}}{\cdot}&0&1\\\hline
   {}0&0&0\\
   {}1&0&1
   \end{array}$$ Los opuestos e inversos son: $$\begin{array}{r|*{2}{r}}{x}&0&1\\\hline
   {}-x&0&1
   \end{array}\qquad \begin{array}{r|*{2}{r}}{x\;\;}&0&1\\\hline
   {}x^{-1}&\not\exists&1
   \end{array}$$