Anillos de integridad

Proporcionamos ejercicios sobre anillos de integridad.

Enunciado
1. Determinar los divisores de cero del anillo $\mathbb{Z}_6.$
2. Estudiar si el anillo $M_2(\mathbb{R})$ es de integridad.
3. Estudiar si el anillo conmutativo y unitario $\mathcal{S}$ de las sucesiones de números reales es un dominio de integridad.
4. Demostrar que en un anillo unitario, las unidades (es decir, los elementos invertibles) no son divisores de cero.
5. Sea $m>1$ entero. Demostrar que: $\mathbb{Z}_m$ es dominio de integridad $\Leftrightarrow$ $ m $ es primo.
6. Sea $A$ un dominio de integridad y $a\in A$ un elemento para el que existe un $n$ entero positivo tal que $a^n=0.$ Demostrar que $a=0.$

Solución
1. La tabla de Cayley del producto es: $$ \begin{array}{r|*{6}{r}}{\cdot}&0&1&2&3&4&5\\\hline
   {}0&0&0&0&0&0&0\\
   {}1&0&1&2&3&4&5\\
   {}2&0&2&4&0&2&4\\
   {}3&0&3&0&3&0&3\\
   {}4&0&4&2&0&4&2\\
   {}5&0&5&4&3&2&1
   \end{array}$$ de la cual deducimos que los divisores de cero son $2,$ $3$ y $4.$
2. Elijamos los elementos de $M_2(\mathbb{R})$: $M=N=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}.$ Entonces, $$MN=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}.$$ Existen divisores de cero, por tanto $M_2(\mathbb{R})$ no es anillo de integridad.
3. Elijamos los elementos de $\mathcal{S}:$ $$\begin{aligned}&x=\left(0,1,0,1,0,1,0,\ldots\right),\\
   &y=\left(1,0,1,0,1,0,1,\ldots\right).
   \end{aligned}$$ Entonces, $xy=0$ y sin embargo, $x\neq 0$ e $y\neq 0.$ Existen divisores de cero, por tanto $\mathcal{S}$ no es dominio de integridad.
4. Si $a$ es unidad del anillo, existe $a^{-1}$ elemento del anillo tal que $aa^{-1}=a^{-1}a=1.$ Si $a$ fuera divisor de cero, existiría $b\neq 0$ en el anillo tal que $ab=0$ o bien $ba=0$ Si fuera $ab=0:$ $$ab=0\Rightarrow a^{-1}(ab)=a^{-1}0\Rightarrow (a^{-1}a)b=0\Rightarrow 1b=0\Rightarrow b=0, $$ lo cual es una contradicción. Análogo razonamiento si fuera $ba=0.$
5. $\Rightarrow)$ Si $m$ no fuera primo, entonces, $m=rs$ con $r,s$ enteros tales que $1<r<m$ y $1<s<m.$ Esto implicaría $\bar r\cdot\bar s=\bar m=\bar 0$ siendo $\bar r\neq \bar 0$ y $\bar s\neq \bar 0.$ Existirían divisores de cero, en contradicción con la hipótesis de ser $\mathbb{Z}_m$ de integridad.
   $\Leftarrow)$ Supongamos que $\mathbb{Z}_m=\{\bar{0},\;\bar{1},\;\bar{2},\;\ldots,\;\overline{m-1}\}$ tuviera divisores de cero, es decir que existieran elementos $\bar r$ y $\bar s$ de $\mathbb{Z}_m$ no nulos tales que $\bar r\cdot \bar s=\bar 0.$ Esto implicaría que $m$ divide a $rs.$
   Ahora bien, dado que $r<m$ y $m$ es primo, $r$ y $m$ son primos entre sí, y al dividir $m$ a $rs$ y ser primo con $r,$ $m$ divide a $s$ (por tanto $\bar s=\bar 0$), lo cual es absurdo pues hemos supuesto $\bar s\neq\bar 0.$
6. Llamemos $m$ al menor de todos los enteros positivos $n$ que cumplen $a^n=0.$ Supongamos que fuera $a\neq 0.$ Entonces, al ser $A$ dominio de integridad, la igualdad $a^m=aa^{m-1}=0$ implica que $a^{m-1}=0,$ en contradicción con la elección de $m.$