Homomorfismos de anillos

Proporcionamos ejercicios sobre homomorfismos de anillos.

Enunciado
1. Se considera el anillo $\mathcal{A}=\{\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{-y}&{x}\end{bmatrix}:x,y\in \mathbb{R}\}.$ Demostrar que es un isomorfismo entre anillos, la aplicación $f:\mathbb{C}\to \mathcal{A}$ dada por $$f(x+iy)=\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{-y}&{x}\end{bmatrix}.$$
2. Demostrar que la siguiente aplicación es epimorfismo de anillos: $$f:\mathbb{R}[x]\to \mathbb{R},\quad f(a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n)=a_0.$$
3. Sea $f:A\to B,$ un homomorfismo de anillos. Demostrar que $\ker f$ es subanillo de $A.$
4. Sea $f:A\to B,$ un homomorfismo de anillos. Demostrar que $\operatorname{Im} f$ es subanillo de $B.$
5. En $\mathbb{R}^2$ se consideran las operaciones: $$\begin{aligned}&(x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’),\\
   &(x,y)\cdot (x’,y’)=(xx’,yy’).
   \end{aligned}$$ Es fácil demostrar (y no se pide en este problema), que $\mathbb{R}^2$ es un anillo con las anteriores operaciones. Para $a,b$ números reales fijos, se define la aplicación $\phi:\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\to \mathbb{R}^2,$ $\phi (f)=(f(a),f(b)).$
   Demostrar que $\phi$ es homomorrfismo de anillos y determinar $\ker \phi.$

Solución
1. Para cualquier par de números complejos $x+iy,\;x’+iy’:$ $$\begin{aligned}
   & f[(x+iy)+(x’+iy’)]=f[(x+x’)+(y+y’)i]=\begin{bmatrix}{x+x’}&{y+y’}\\{-(y+y’)}&{x+x’}\end{bmatrix}\\
   &=\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{-y}&{x}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{x’}&{y’}\\{-y’}&{x’}\end{bmatrix}=f(x+iy)+f(x’+iy’).
   \end{aligned}$$ $$\begin{aligned}
   & f[(x+iy)(x’+iy’)]=f[(xx’-yy’)+(xy’+yx’)i]=\\
   &\begin{bmatrix}{xx’-yy’}&{xy’+yx’}\\{-(xy’+yx’)}&{xx’-yy’}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{-y}&{x}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x’}&{y’}\\{-y’}&{x’}\end{bmatrix}=f(x+iy)f(x’+iy’).
   \end{aligned}$$ Concluimos que $f$ es homomorfismo entre los anillos $\mathbb{C}$ y $\mathcal{A}.$ Su núcleo es: $$\ker f=\{x+iy\in\mathbb{C}:f(x+iy)=\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{-y}&{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\}=\{0+0i\}=\{0\},$$ por tanto $f$ es inyectiva. Por último, cualquier elemento de $\mathcal{A}$ se puede expresar en la forma: $$\begin{bmatrix}{x}&{y}\\{-y}&{x}\end{bmatrix}=f(x+iy),$$ es decir $f$ es sobreyectiva. Hemos demostrado pues que $f$ es un isomorfismo entre los anillos $ \mathbb{C} $ y $\mathcal{A}.$
2. Para cualquier par de elementos de $\mathbb{R}[x],$ $p(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$ y $q(x)=b_0+b_1x+\cdots +b_mx^m$ se verifica: $$\begin{aligned}&f[p(x)+q(x)]=f[(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+\cdots]\\
   &=a_0+b_0=f[p(x)]+f[q(x)].
   \end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&f[p(x)q(x)]=f[a_0b_0+(a_0b_1+a_1b_0)x+\cdots]\\
   &=a_0b_0=f[p(x)]f[q(x)].
   \end{aligned}$$ Concluimos que $f$ es homomorfismo entre los anillos $\mathbb{R}[x]$ y $\mathbb{R} .$ Es además epimorfismo, pues cualquier número real dado $a_0$ se puede expresar en la forma $a_0=f(a_0),$ es decir $f$ es sobreyectiva.
3. Dado que $\ker f$ es exactamente el núcleo entre los grupos aditivos $(A,+)$ y $(B,+),$ $\ker f$ es subgrupo aditivo de $A,$ luego se verifica $\ker f\neq \emptyset$ y $a-a’\in \ker f$, $\forall a,a’\in \ker f.$ Por otra parte, $\forall a,a’\in \ker f:$ $$f(aa’)=f(a)f(a’)=0\cdot 0=0,$$ lo cual implica que $aa’\in \ker f.$ Del teorema de caracterización de subanillos, concluimos que $\ker f$ es subanillo de $A.$
4. Dado que $\operatorname{Im} f$ es exactamente la imagen entre los grupos aditivos $(A,+)$ y $(B,+),$ $\operatorname{Im} f$ es subgrupo aditivo de $B,$ luego se verifica $\operatorname{Im} f\neq \emptyset$ y $b-b’\in \operatorname{Im} f$, $\forall b,b’\in \operatorname{Im} f.$ Por otra parte, si $b,b’\in \operatorname{Im} f,$ entonces $b=f(a)$ y $b’=f(a’)$ para ciertos $a,a’\in A.$ Entonces, $$bb’=f(a)f(a’)=f(aa’)\Rightarrow bb’\in \operatorname{Im} f.$$ Del teorema de caracterización de subanillos, concluimos que $\operatorname{Im} f$ es subanillo de $B.$
5. Para todo par de funciones $f,g\in\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}):$ $$\begin{aligned}&\phi (f+g)=\left((f+g)(a),(f+g)(b)\right)=\left(f(a)+g(a),f(b)+g(b)\right)\\
   &=\left(f(a),f(b)\right)+\left(g(a),g(b)\right)=\phi (f)+\phi (g),
   \end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&\phi (f\cdot g)=\left((f\cdot g)(a),(f\cdot g)(b)\right)=\left(f(a)g(a),f(b)g(b)\right)\\
   &=\left(f(a),f(b)\right)\cdot\left(g(a),g(b)\right)=\phi (f)\cdot \phi (g),
   \end{aligned}$$ es decir $\phi$ es homomorfismo entre los anillos $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ y $\mathbb{R}^2.$ El núcleo de $\phi$ es $$\ker \phi=\{f\in \mathcal{F}(\mathbb{R}:\phi (f)=\left(f(a),f(b)\right)=(0,0)\},$$ por tanto, está formado por las funciones de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ que se anulan simultáneamente en $a$ y $b.$