Concepto de cuerpo

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de cuerpo.

Enunciado
1. Determinar los elementos invertibles de $\mathbb{Z}_{11}$ y deducir que es un cuerpo.
2. Demostrar que $\mathbb{K}=\{x+y\sqrt{3}:x,y\in\mathbb{Q}\}$ con las operaciones usuales suma y producto de números reales, es un cuerpo.
3. Demostrar que cualquier intersección de subcuerpos de un cuerpo $\mathbb{K}$ es subcuerpo de $\mathbb{K}.$
4. Demostrar que todo cuerpo es dominio de integridad.
5. Demostrar que los únicos ideales de un cuerpo $\mathbb{K}$ son $\{0\}$ y $\mathbb{K}.$
6. Demostrar que en un cuerpo $\mathbb{K},$ la ecuación $ax=b$ con $a,b\in \mathbb{K}$ y $a\neq 0$ tiene siempre solución única.

Solución
1. Usando la conocida forma de multiplicar en los anillos $\mathbb{Z}_{m}:$ $$\begin{aligned}& 1\cdot 1=1,\quad 2\cdot 6=6\cdot 2=1, \quad 3\cdot 4=4\cdot 3=1,\\
   &5\cdot 9=9\cdot 5=1, \quad 7\cdot 8=8\cdot 1=1, \quad 10\cdot 10=1.
   \end{aligned}$$ Por tanto, todo elemento no nulo de $\mathbb{Z}_{11}=\{0,1,2,\ldots,10\}$ tiene inverso. Al ser $\mathbb{Z}_{11}$ anillo conmutativo y unitario, es cuerpo.
2. $1)$ Veamos que $\mathbb{K}$ es subanillo de $\mathbb{R},$ con lo cual estará demostrado que $\mathbb{K}$ es anillo. Claramente, $\mathbb{K}\neq \emptyset,$ y para $x+y\sqrt{3},$ $x’+y’\sqrt{3}$ elementos de $\mathbb{K}:$ $$\begin{aligned}&(x+y\sqrt{3})-(x’+y’\sqrt{3})=(x-x’)+(y-y’)\sqrt{3}, \\
   &(x+y\sqrt{3})(x’+y’\sqrt{3})=(xx’+3yy’)+(yx’+xy’)\sqrt{3},
   \end{aligned}$$ y dado que la suma y producto de números racionales es un número racional concluimos que la diferencia y el producto de elementos de $\mathbb{K}$ está en $\mathbb{K}.$ Por el teorema de caracterización de subanillos, $\mathbb{K}$ es subanillo. Es además conmutativo por serlo $\mathbb{R},$ y unitario pues $1=1+0\sqrt{3}\in \mathbb{K}.$

   2) Veamos que todo elemento no nulo de $\mathbb{K}$ tiene inverso en $\mathbb{K}.$ Primeramente, demostremos que en $\mathbb{K}$ ocurre: $$x+y\sqrt{3}=u+v\sqrt{3}\Leftrightarrow x=u\text{ e } y=v.\qquad (1)$$ $\Leftarrow)$ Esta implicación es trivial.
   $\Rightarrow)$ Si $x+y\sqrt{3}=u+v\sqrt{3},$ entonces $(x-u)=(v-y)\sqrt{3}.$ No puede ocurrir $v-y\neq 0,$ pues en tal caso, $\sqrt{3}=(x-u)/(v-y)$ y llegaríamos al absurdo de que $\sqrt{3}$ sería racional. Por tanto, necesariamente $v=y$ lo cual implica $x-u=0,$ o sea $x=u.$

   Sea ahora $x+y\sqrt{3}\in \mathbb{K}$ no nulo. Veamos que existe $x’+y’\sqrt{3}\in \mathbb{K}$ tal que $(x+y\sqrt{3})(x’+y’\sqrt{3})=1=1+0\sqrt{3}.$ Por $(1),$ la igualdad anterior equivale al sistema: $$\left \{ \begin{matrix} xx’+3yy’=1\\yx’+xy’=0.\end{matrix}\right.\qquad (2)$$ El determinante de la matriz del sistema anterior en las incógnitas $x’$ e $y’$ es $x^2-3y^2.$ No puede ser $x^2-3y^2=0,$ pues si $y=0,$ entonces $x=0$ (absurdo pues $x+y\sqrt{3}$ es no nulo), y si $y\neq 0,$ entonces $\sqrt{3}=x/y$ (absurdo pues $\sqrt{3}$ no es racional).
   Por la regla de Cramer, el sistema $(2)$ tiene solución, luego $x+y\sqrt{3}$ tiene inverso. Hemos demostrado que $\mathbb{K}$ es cuerpo.

3. Sea $\{\mathbb{K}_i\}$ una familia de subcuerpos de $\mathbb{K}$ y $H=\bigcap _i\mathbb{K}_i.$ Se verifica $0\in \mathbb{K}_i$ para todo $i,$ luego $0\in H\neq \emptyset.$ Si $x,y\in H,$ entonces $x\in \mathbb{K}_i,$ $y\in \mathbb{K}_i$ para todo $i$ y por ser $\mathbb{K}_i$ subgrupo aditivo de $\mathbb{K}$ para todo $i,$ también $x-y\in \mathbb{K}_i$ para todo $i,$ en consecuencia $x-y\in H.$ Por tanto $H$ es subgrupo aditivo de $\mathbb{K}$ (además conmutativo por serlo $\mathbb{K}$).Veamos ahora que $H^*=H-\{0\}$ es subgrupo multiplicativo de $\mathbb{K}^*=\mathbb{K}-\{0\}.$ Se verifica $1\in \mathbb{K}_i$ para todo $i,$ luego $1\in H^*\neq \emptyset.$ Si $x,y\in H^*,$ entonces $x,y\in \mathbb{K}_i-\{0\},$ para todo $i$ y por ser $\mathbb{K}_i-\{0\}$ subgrupo multiplicativo de $\mathbb{K}^*$ para todo $i,$ también $xy^{-1}\in \mathbb{K}_i$ para todo $i,$ en consecuencia $xy^{-1}\in H^*.$ Por tanto $H^*$ es subgrupo aditivo de $\mathbb{K}^*$ (además conmutativo por serlo $\mathbb{K}^*$).
4. Si $\mathbb{K}$ es cuerpo, es anillo conmutativo y unitario, por tanto basta demostrar que no existen divisores de cero. Sea $a\in \mathbb{K}$ con $a\neq 0$ y supongamos que existe $b\in \mathbb{K}$ tal que $ab=0.$ Tenemos:$$ab=0\Rightarrow a^{-1}(ab)=a^{-1}0\Rightarrow (a^{-1}a)b=0\Rightarrow 1b=0\Rightarrow b=0,$$ es decir no existen divisores de cero, luego $\mathbb{K}$ es dominio de integridad.
5. Sea $I\subset \mathbb{K}$ un ideal de $\mathbb{K}.$ Si $I=\{0\},$ ya está demostrado. Si $I\neq \{0\},$ existe $x\in I$ con $x\neq 0.$ Entonces, todo $a\in \mathbb{K}$ se puede expresar en la forma: $$a=1a=x^{-1}xa=(x^{-1}a)x.$$ Como $I$ es ideal, $a\in I,$ y por tanto $\mathbb{K}\subset I.$ Esto, junto con $I\subset \mathbb{K}$ demuestra que $I= \mathbb{K}.$
6. Efectivamente, si $x$ es solución de la ecuación $ax=b,$ entonces: $$ax=b\Rightarrow a^{-1}ax=a^{-1}b\Rightarrow 1x=a^{-1}b\Rightarrow x=a^{-1}b, $$ es decir la única posible solución es $x=a^{-1}b.$ Pero este elemento de $\mathbb{K}$ es efectivamente solución de la ecuación, pues $a(a^{-1}b)=aa^{-1}b=1b=b.$
   Nota. En un cuerpo, al elemento $a^{-1}b$ (que es igual a $ba^{-1}$), se le acostumbra a representar por $b/a.$