Característica de un cuerpo

Proporcionamos ejercicios sobre la característica de un cuerpo.

Enunciado
1. Determinar las características de los cuerpos $\mathbb{Q},$ $\mathbb{R},$ $\mathbb{C}$ y $\mathbb{Z}_p$ ($p$ primo).
2. Demostrar que la característica de un cuerpo, o es infinito, o es un número primo.

Solución
1. En $\mathbb{Q},$ no existe entero positivo $n$ tal que $\underbrace{1+1+\cdots +1}_{n)}=0,$ por tanto la característica de $\mathbb{Q}$ es $\infty.$ Análogo resultado para $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}.$ De la definición de suma en el cuerpo $\mathbb{Z}_p,$ deducimos de manera inmediata que su característica es $p.$
2. Supongamos que la característica de $\mathbb{K}$ es el número natural $p.$ Si $p$ fuera compuesto, $p=mn$ con $1<m<p$ y $1<n<p$ naturales. Como $m$ y $n$ son menores que $p,$ se verificaría $me\neq 0$ y $ne\neq 0.$ Como $\mathbb{K}$ es dominio de integridad, $(me)(ne)\neq 0.$ Ahora bien, $$\begin{aligned}&(me)(ne)=(\underbrace{e+e+\cdots +e}_{m)})\;(\underbrace{e+e+\cdots +e}_{n)}) \\
   &=\underbrace{e+e+\cdots +e}_{mn)}=(mn)e=pe.
   \end{aligned}$$ Sería $pe\neq 0$ en contradicción con la hipótesis de ser $p$ la característica de $\mathbb{K}.$