Ideal bilátero f(I)

Demostramos que la imagen de un ideal bilátero por un homomorfismo de anillos es ideal bilátero del anillo imagen.

Enunciado
Siendo $f:A\to A’$ un homomorfismo de anillos e $I$ un ideal bilátero de $A$, demostrar que $f(I)$ es un ideal bilátero de $f(A)$ (subanillo de $A’$).

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS  Arquitectura, UPM).

Solución
Sean $y_1,y_2$ elementos de $f(I)$. Entonces existen $x_1,x_2$ elementos de $I$ tales que $y_1=f(x_1),y_2=f(x_2)$. Teniendo en cuenta que $f$ es homomorfismo:

$y_1-y_2=f(x_1)-f(x_2)=f(x_1-x_2).$

Al ser $I$ ideal de $A$ se verifica $x_1-x_2\in I$, en consecuencia $y_1-y_2\in f(I)$. Sean ahora $b\in f(A)$ e $y\in f(I)$. Entonces, existen elementos $a\in A$, $x\in I$ tales que $b=f(a)$ e $y=f(x)$. Teniendo en cuenta que $f$ es homomorfismo:

$by=f(a)f(x)=f(ax)\;,\; yb=f(x)f(a)=f(xa).$

Por hipótesis, $I$ es un ideal bilátero de $A$ lo cual implica que tanto $ax$ como $xa$ pertenecen a $I$. Se deduce pues que $by$ e $yb$ pertenecen a $f(I)$. Concluimos que $f(I)$ es ideal bilátero de $f(A)$.