Anillos y cuerpos: problemas diversos

Proporcionamos problemas diversos sobre anillos y cuerpos.

1  En el conjunto de los números reales se definen las operaciones $$x*y=x+y+4,\quad x\circ y=xy+\lambda x+\lambda y +12$$ con $\lambda\in \mathbb{R}$. Hallar $\lambda$ para que $(\mathbb{R},*,\circ)$ sea anillo.

2  Dada una matriz $M\in M_n(\mathbb{R}),$ se consideran los siguientes conjuntos: $$\mathcal{M}=\{A\in M_n(\mathbb{R}):AM=MA\},$$ $$\mathcal{N}=\{A\in M_n(\mathbb{R}):AM=MA\mbox{ y }A\mbox{ regular}\}.$$ 1. Analizar si $(\mathcal{M},+,\cdot) $ es un anillo.
2. Analizar si $(\mathcal{N},\cdot) $ es un grupo.
3. Si es $n=2$ y $M=\begin{bmatrix}{\;\;4}&{1}\\{-1}&{2}\end{bmatrix}$, hallar $\mathcal{M}$ y $\mathcal{N}.$

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. Aeronáuticos, UPM).

3  Fórmula del binomio de Newton para elementos permutables de un anillo. Sean $a$ y $b$ dos elementos permutables de un anillo $A,$ es decir $ab=ba.$ Demostrar que $\forall n\in\mathbb{N}^*=\{1,2,3,\ldots\}$ se verifica la fórmula de Newton: $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k.$$

4  Anillo de las funciones reales. Sea $X$ un conjunto distinto del vacío y sea $\mathcal{F}(X,\mathbb{R})$ el conjunto de todas las funciones de $X$ en $\mathbb{R}.$ Se definen en $\mathcal{F}(X,\mathbb{R})$ las operaciones

Suma. Para todo $f,g\in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}),\quad(f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in X.$
Producto. Para todo $f,g\in \mathcal{F}(X,\mathbb{R}),\quad(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\quad \forall x\in X.$

Demostrar que $(\mathcal{F}(X,\mathbb{R}),+,\cdot)$ es anillo conmutativo y unitario.

5  Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo idempotente, es decir un anillo que satisface $x^2=x$ para todo $x\in A.$
1. Demostrar que el anillo es conmutativo.
2. Estudiar la ley interna sobre $A$ definida por $x*y=x+y+xy$.
3. Demostrar que $x\leq y\Leftrightarrow xy=x$ es una relación de orden sobre $A$.
4. ¿Existe elemento mínimo en $(A,\leq)$?

6  Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo conmutativo y $f$ una aplicación de $\mathbb{K}$ en $\mathbb{R}^+$ (números reales no negativos) tal que $\forall{x,y}\in\mathbb{K}$ se verifica

(a) $f(x+y)\leq\sup \{f(x),f(y)\}$
(b) $f(xy)=f(x)f(y)$
(c) $f(x)=0\Leftrightarrow{x=0}$

1. Sea $u$ el elemento unidad de $\mathbb{K}$ respecto del producto. Demostrar que $f(u)=1$.
2. Sea $A=f^{-1}\left([0,1]\right)$, demostrar que si $x,y\in A$ entonces $x+y\in A$.
3. Sea $x\in A$, demostrar que $-x\in A$ ($-x$ es el elemento simétrico de $x$ en $\mathbb{K}$ respecto de la suma).
4. Estudiar la estructura algebraica más completa de $(A,+,\cdot)$.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. Industriales, UPM).

7  Sea $\mathcal{H}=\mathbb{R}\times{\mathbb{R}^3}=\left\{{A=(a,\vec{\alpha }):a\in \mathbb{R},\vec{\alpha }\in \mathbb{R}^3}\right\}$. A cada elemento $A$ de $\mathcal{H}$ se le llama cuaternio (o cuaternión). En el conjunto $\mathcal{H}$ se define la igualdad de dos elementos $A=(a,\vec{\alpha })$ y $B=(b,\vec{\beta })$ mediante:$$A=B \Leftrightarrow a=b\;\textrm{y}\;\vec{\alpha }=\vec{ \beta}$$ Definimos la suma $A+B$ y el producto $AB$ mediante: $$A+B=(a+b,\vec{\alpha }+\vec{ \beta})\;,\quad AB=(ab-\vec{\alpha }\cdot \vec{ \beta},a\vec{ \beta}+b\vec{\alpha }+\vec{\alpha }\wedge \vec{ \beta})$$ en donde $\cdot$ representa el producto escalar usual de $\mathbb{R}^3$ y $\wedge$ el producto vectorial.

1. Demostrar que $(\mathcal{H},+)$ es un grupo abeliano. Precisar el elemento neutro $E$ y el opuesto de $A$.
2. Demostrar que la multiplicación es distributiva respecto de la suma.
3. Demostrar que $\mathcal{H}-\{ E \}$ es un grupo con la operación producto de cuaternios. Precisar el elemento unidad $U$ . Demostrar que el inverso $A^{-1}$ de $A=(a,\vec{\alpha})$ es: $$A^{-1}=\left( \dfrac{a}{a^2+\vec{\alpha }^{\;2}},\dfrac{-\vec{\alpha }}{a^2+\vec{\alpha }^{\;2}}\right)$$ 4. A la vista de los resultados anteriores, ¿qué estructura tiene $\mathcal{H}$?

Más métodos y técnicas en el menú.