Grupo no abeliano en $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} $

Enunciado
En $G=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ se define la ley de composición interna $*$ mediante $$(x_1,y_1)*(x_2,y_2)=(x_1+(-1)^{y_1}x_2,y_1+y_2).$$ Probar que ley $*$ confiere a $G$ estructura de grupo no abeliano.

Solución.  Claramente $*$ es una ley de composición interna. Veamos que cumple la propiedad asociativa. Por un parte $$[(x_1,y_1)*(x_2,y_2)]*(x_3,y_3)=(x_1+(-1)^{y_1}x_2\;,\;y_1+y_2)*(x_3,y_3)$$ $$=(x_1+(-1)^{y_1}x_2+(-1)^{y_1+y_2}x_3\;,\;y_1+y_2+y_3).$$ Por otra
$$(x_1,y_1)*[(x_2,y_2)*(x_3,y_3)]=(x_1,y_1)*(x_2+(-1)^{y_2}x_3\;,\;y_2+y_3)$$ $$=(x_1+(-1)^{y_1}(x_2+(-1)^{y_2}x_3)\;,\;y_1+y_2+y_3).$$ Dado que $$x_1+(-1)^{y_1}(x_2+(-1)^{y_2}x_3)=x_1+(-1)^{y_1}x_2+(-1)^{y_1+y_2}x_3,$$ concluimos que la operación $*$ es asociativa. Veamos que existe elemento neutro. En efecto,  $(e_1,e_2)\in G$ es elemento neutro si y sólo si para todo $(x,y)\in G$ se verifica $$(x,y)*(e_1,e_2)=(e_1,e_2)*(x,y)=(x,y),$$ o equivalentemente $$(x+(-1)^ye_1\;,\;y+e_2)=(e_1+(-1)^{e_2}x\;,\;e_2+y)=(x,y).$$
Esta igualdad se verifica para $(e_1,e_2)=(0,0)$, que es por tanto el elemento neutro de la ley de composición interna $*$. Veamos ahora que todo elemento $(x,y)\in G$ tiene elemento simétrico. En efecto, $(x’,y’)$ es simétrico de $(x,y)$ si y sólo si $$(x,y)*(x’,y’)=(x’,y’)*(x,y)=(0,0),$$ o equivalentemente $$(x+(-1)^yx’\;,\;y+y’)=(x’+(-1)^{y’}x\;,\;y’+y)=(0,0).\quad (1)$$ De $y+y’=0$ deducimos $y’=-y$ y de $x+(-1)^yx’=0$ que $x’=-(-1)^{-y}x$ o bien $x’=(-1)^{1-y}x$. Para estos valores de $x’$ e $y’$ se verifican las igualdades (1). Concluimos que todo elemento $(x,y)\in G$ tiene simétrico, siendo este $$(x,y)^{-1}=(x’,y’)=((-1)^{1-y}x\;,\;-y).$$ Hemos demostrado que $(G,*)$ es grupo. No es abeliano pues por ejemplo $$(1,0)*(0,1)=(1+(-1)^0\cdot 0\;,\;0+1)=(1,1),$$ $$
(0,1)*(1,0)=(0+(-1)^1\cdot 1\;,\;1+0)=(-1,1).$$

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