Un grupo conmutativo

Enunciado
En el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ se define la operación $*$ mediante $$x*y=\sqrt[ 3]{x^3+y^3}.$$ Demostrar que $(\mathbb{R},*)$ es un grupo abeliano.

Solución.  (a) Interna. Para todo par de números reales $x,y$ la suma $x^3+y^3$ es un número real. Además, la raíz cúbica de un número real es un  número real único. Por tanto, la operación $*$ es interna.

(b) Asociativa. Para todo $x,y,z$ números reales se verifica $$(x*y)*z=(\sqrt[3]{x^3+y^3})*z=\sqrt[3]{(\sqrt[3]{x^3+y^3})^3+z^3}=\sqrt[3]{x^3+y^3+z^3},$$ $$
x*(y*z)=x*(\sqrt[3]{y^3+z^3})=\sqrt[3]{x^3+(\sqrt[3]{y^3+z^3})^3}=\sqrt[3]{x^3+y^3+z^3}.$$ Es decir, la operación $*$ es asociativa.

(c) Elemento neutro. Para todo $x\in\mathbb{R}$ se verifica $$x*0=\sqrt[3]{x^3+0^3}=\sqrt[3]{x^3}=x\;,\quad 0*x=\sqrt[3]{0^3+x^3}=\sqrt[3]{x^3}=x.$$ Por tanto, $0$ es el elemento neutro de la operación $*$.

(d) Elemento simétrico. Para todo $x\in\mathbb{R}$ se verifica $$x*(-x)=\sqrt[3]{x^3+(-x)^3}=\sqrt[3]{x^3-x^3}=\sqrt[3]{0}=0,$$ $$ (-x)*x=\sqrt[3]{(-x)^3+x^3}=\sqrt[3]{-x^3+x^3}=\sqrt[3]{0}=0.$$ Todo $x\in\mathbb{R}$ tiene elemento simétrico, siendo éste $-x$.

(e) Conmutativa. Para todo par de números reales $x,y:$ $$x*y=\sqrt[3]{x^3+y^3}=\sqrt[3]{y^3+x^3}=y*x.$$ La operación es conmutativa. Concluimos que $(\mathbb{R},*)$ es un grupo abeliano.

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