Concepto de matriz, suma de matrices

Publicada el abril 20, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de matriz y el de suma de matrices.

RESUMEN TEÓRICO
  • $\mathbb{K}^{m\times n}$ o bien $M_{m\times n}(\mathbb{K}$)  (abreviadamente $M_{n}(\mathbb{K})$ si son cuadradas de orden $n$) representa el conjunto de las matrices de órdenes $m\times n$ con elementos en un cuerpo $\mathbb{K}.$ Si no se menciona el cuerpo $\mathbb{K},$ se supondrá $\mathbb{K}=\mathbb{R}.$
  • A los elementos de una matriz los representamos por la misma letra que la matriz, por ejemplo $A=[a_{ij}],$ $B=[b_{ij}]$ etcétera. Se definen la igualdad, suma y diferencia de matrices sobre un cuerpo cualquiera $\mathbb{K},$ de la misma manera que en $\mathbb{R}.$
    Enunciado
  1. Escribir una matriz genérica $A$ de orden $2\times 3,$ otra genérica $B$ de orden $4\times 3,$ y otra genérica $C$ de orden $1\times 1.$
  2. Para una matriz genérica $A$ cuadrada de orden $3,$ identificar los elementos de la diagonal principal y los de la diagonal secundaria.
  3. Determinar para que valores de $x$ e $y$ son iguales las matrices: $$A=\begin{bmatrix}{5}&{x-4y}\\{x-y+4}&{0.5}\end{bmatrix}\;,\quad B=\begin{bmatrix}{5}&{-11}\\{x+y}&{1/2}\end{bmatrix}.$$
  4. Hallar $M+N$ y $M-N,$ siendo:$$M=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{2}\\{2}&{1}&{2}\\{2}&{2}&{1}\end{bmatrix}\;,\quad N=\begin{bmatrix}{-5}&{3}&{1}\\{0}&{-1}&{4}\\{0}&{0}&{2/3}\end{bmatrix}.$$
  5. En $\mathbb{Z}_7^{3\times 2}$ hallar $A+B,$ siendo: $$A=\begin{bmatrix}{2}&{6}\\{1}&{1}\\{3}&{2}\end{bmatrix}\;,\;B=\begin{bmatrix}{5}&{4}\\{4}&{0}\\{4}&{6}\end{bmatrix}\;.$$
  6. En $\mathbb{K}^{3\times 2},$ escríbanse el elemento neutro para la suma, y la matriz opuesta de una matriz genérica $A.$
    Solución
  1. Serían: $$A=\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&a_{13}\\{a_{21}}&{a_{22}}&a_{23}\end{bmatrix}\;,\quad B=\begin{bmatrix}{b_{11}}&{b_{12}}&{b_{13}}\\{b_{21}}&{b_{22}}&{b_{23}}\\{b_{31}}&{b_{32}}&{b_{33}}\\{b_{41}}&{b_{42}}&{b_{43}}\end{bmatrix}\;,\quad C=[c_{11}].$$
  2. Diagonal principal: $A=\begin{bmatrix}{\boxed{a_{11}}}&{a_{12}}&a_{13}\\{a_{21}}&{\boxed{a_{22}}}&a_{23}\\{a_{31}}&{a_{32}}&\boxed{a_{33}}\end{bmatrix}\;.$
    Diagonal secundaria: $A=\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&\boxed{a_{13}}\\{a_{21}}&{\boxed{a_{22}}}&a_{23}\\{\boxed{a_{31}}}&{a_{32}}&a_{33}\end{bmatrix}\;.$
  3. Las matrices $A$ y $B$ tienen el mismo orden. Para que sean iguales, han de se además iguales los correspondientes elementos, es decir: $$\left \{ \begin{matrix} 5=5& \\x-4y=-11\\x-y+4=x+y\\0.5=1/2\end{matrix}\right.\text{o equivalentemente, }\;\left \{ \begin{matrix} x-4y=-11\\x-y+4=x+y.\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $x=-3,$ $y=2.$
  4. Aplicando las definiciones de suma y diferencia de matrices: $$M+N=\begin{bmatrix}{-4}&{5}&{3}\\{2}&{0}&{6}\\{2}&{2}&{5/3}\end{bmatrix}\;,\quad M-N=\begin{bmatrix}{6}&{-1}&{1}\\{2}&{2}&{-2}\\{2}&{2}&{1/3}\end{bmatrix}\;.$$
  5. Usando la conocida regla de sumar en $\mathbb{Z}_7:$ $$A+B=\begin{bmatrix}{2+5}&{6+4}\\{1+4}&{1+0}\\{3+4}&{2+6}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{3}\\{5}&{1}\\{0}&{1}\end{bmatrix}\;.$$
  6. El elemento neutro es la matriz $0=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix},$ y para $A=\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}}\\{a_{31}}&{a_{32}}\end{bmatrix}$ su opuesta es $-A=\begin{bmatrix}{-a_{11}}&{-a_{12}}\\{-a_{21}}&{-a_{22}}\\{-a_{31}}&{-a_{32}}\end{bmatrix}.$
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