Integral de la función potencial

Proporcionamos ejercicios sobre la integral de la función potencial.

Enunciado
1. Calcular:
   $ a)\displaystyle\int x^3dx.\quad b)\displaystyle\int x^{21}dx.\quad c)\displaystyle\int \dfrac{1}{x^7}dx.\quad d)\displaystyle\int \sqrt{x}\;dx.\quad e)\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\;dx.$
2. Calcular: $ {}\quad a)\displaystyle\int (2x^3-5x^2+6x-11)\;dx.\quad b)\displaystyle\int \dfrac{x^3-8x+2}{x}dx.$
3. Calcular: $ {}\quad a)\displaystyle\int t(t+1)(t+2)\;dt.\quad b)\displaystyle\int \dfrac{x+2}{\sqrt[4]{x}}dx.$
4. Demostrar que:
   $ {}\quad a) \displaystyle\int x^pdx=\dfrac{x^{p+1}}{p+1}+C\;(p\in\mathbb{R},p\neq -1).\quad b)\displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx=\log \left|x\right| +C.$
5. Calcular $\displaystyle\int \left|x\right|\;dx.$

Solución
1. Usando la conocida fórmula $\displaystyle\int x^pdx=\dfrac{x^{p+1}}{p+1}+C\;(p\neq -1):$
   $a)\; \displaystyle\int x^3dx=\dfrac{x^4}{4}+C.$
   $b)\; \displaystyle\int x^{21}dx=\dfrac{x^{22}}{22}+C.$
   $c)\; \displaystyle\int \dfrac{1}{x^7}dx=\displaystyle\int x^{-7}dx=\dfrac{x^{-6}}{-6}+C=-\dfrac{1}{6x^6}+C.$
   $d)\;\displaystyle\int \sqrt{x}\;dx=\displaystyle\int x^{1/2}dx=\dfrac{x^{3/2}}{3/2}+C=\dfrac{2x\sqrt{x}}{3}+C.$
   $e)\;\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\;dx=\displaystyle\int x^{-1/3}dx=\dfrac{x^{2/3}}{2/3}+C=\dfrac{3\sqrt [3]{x^2}}{2}+C.$
2. Usando la propiedad de linealidad de la integral indefinida y que $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx=\log |x|+C:$
   $$a)\; \displaystyle\int (2x^3-5x^2+6x-11)\;dx=2\cdot\dfrac{x^4}{4}-5\cdot\dfrac{x^3}{3}+6\cdot \dfrac{x^2}{2}-11x+C$$$$
   =\dfrac{x^4}{2}-\dfrac{5x^3}{3}+3x^2-11x+C.$$
   $$b)\;\displaystyle\int \dfrac{x^3-8x+2}{x}dx=\displaystyle\int\left(x^2-8+\dfrac{2}{x}\right)\;dx =\dfrac{x^3}{3}-8x+2\log |x|+C.$$
3. $a)$ $\displaystyle\int t(t+1)(t+2)\;dt=\displaystyle\int (t^3+3t^2+2t)\;dt=\dfrac{t^4}{4}+t^3+t^2+C.$
   $$b)\quad \displaystyle\int \dfrac{x+2}{\sqrt[4]{x}}dx=\displaystyle\int \dfrac{x+2}{x^{1/4}}dx=\displaystyle\int \left(x^{3/4}+2x^{-1/4}\right)dx=\dfrac{x^{7/4}}{7/4}+2\dfrac{x^{3/4}}{3/4}+C$$$$
   =\dfrac{4x^{7/4}}{7}+\dfrac{8x^{3/4}}{3}+C=\dfrac{4x^{3/4}}{21}\left(3x+56\right)+C.$$
4. $a)$ En efecto, $\left(\dfrac{x^{p+1}}{p+1}+C\right)’=\dfrac{(p+1)x^p}{p+1}+0=x^p.$
   $b)$ Si $x>0,$ entonces $(\log |x|+C)’=(\log x+C)’=\dfrac{1}{x}+0=\dfrac{1}{x}.$
   Si $x<0,$ entonces $(\log |x|+C)’=(\log (-x)+C)’=\dfrac{-1}{-x}+0=\dfrac{1}{x}.$
5. Hallemos una función $F(x)$ tal que $F'(x)=\left|x\right|.$ Dado que la función valor absoluto de $x$ es:$$\left|x\right|=\left \{ \begin{matrix} x& \mbox{ si }& x\leq 0\\-x & \mbox{ si }& x<0,\end{matrix}\right.$$ la función $$F(x)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{x^2}{2}& \mbox{ si }& x\geq 0\\-\dfrac{x^2}{2} & \mbox{ si }& x<0\end{matrix}\right.$$ satisface $F'(x)=x$ si $x>0$ y $F'(x)=-x$ si $x<0,$ es decir, satisface $F'(x)=\left|x\right|$ si $x\neq 0.$ Por otra parte: $$F’_+(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{\frac{h^2}{2}}{h}=0 \text{ y } F’_-(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{-\frac{h^2}{2}}{h}=0,$$ es decir, $F'(0)=0.$ Por tanto, $F'(x)=\left|x\right|$ en todo $\mathbb{R}.$
   Una primitiva de $|x|$ en el intervalo $(-\infty,+\infty)$ es $F(x)$ y por tanto, todas son de la forma $F(x)+C$ con $C$ constante. Nótese que $F(x)$ se puede expresar en la forma $x\left|x\right|/2,$ por tanto: $$\displaystyle\int \left|x\right|\;dx=\frac{x|x|}{2}+C.$$