Desigualdad de Bernoulli

Demostramos por inducción la desigualdad de Bernoulli.

Enunciado
Demostrar por inducción que para cualquier número real $x\geq -1$ y para todo entero $n\geq 1$ se verifica $(1+x)^n\geq 1+nx.$ (Desigualdad de Bernoulli).

Solución
Paso base. Para $n=1$, el primer miembro es $(1+x)^1=1+x$ y el segundo $1+1x=1+x$, por tanto la desigualdad es cierta para $n=1$.

Paso de inducción. Sea cierta la fórmula para $n$ es decir, supongamos que $$(1+x)^n\geq 1+nx \text{ si } x\geq -1.\quad (*)$$ La condición $x\geq -1$ equivale a $1+x\geq 0$ así que podemos multiplicar ambos miembros de la desigualdad de $(*)$ por $1+x$ sin que cambie el sentido de ésta. Queda: $$(1+x)^{n+1}\geq (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2.$$ Dado que $nx^2\geq 0,$ se verifica $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x,$ luego la fórmula es cierta para $n+1$.