Producto de un escalar por una matriz

Proporcionamos ejercicios sobre el producto de un escalar por una matriz.

Enunciado
1. Dadas las matrices $$A=\begin{bmatrix}{1}&{-2}&{4}\\{1}&{1}&{0}\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}{0}&{5}&{1}\\{7}&{-2}&{0}\end{bmatrix},$$ calcular $2A-3B.$
2. En $M_2(\mathbb{Z}_5),$ calcular $2A-3B$ siendo:$$A=\begin{bmatrix}{2}&{4}\\{1}&{3}\end{bmatrix},\;B=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{3}&{3}\end{bmatrix}.$$
3. Resolver en $\mathbb{R}^{2\times 3}$ el sistema: $$\left \{ \begin{matrix} 2X+3Y=A \\3X-4Y=B,\end{matrix}\right.$$ siendo $A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}&{1}\\{4}&{0}&{1}\end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{2}\\{0}&{-3}&{2}\end{bmatrix}.$
4. Demostrar que para todo $\lambda,\mu\in\mathbb{K},$ y para todo $A,B\in\in\mathbb{K}^{m\times n},$ se verifica: $$\begin{aligned}&1.\;\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B.\\&2.\;(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A.\\
   &3.\;\lambda (\mu A)=(\lambda\mu)A.\\
   &4.\;1A=A.\end{aligned}$$

Solución
1. Tenemos: $$2A-3B=\begin{bmatrix}{2}&{-4}&{8}\\{2}&{2}&{0}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}{0}&{15}&{3}\\{21}&{-6}&{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2}&{-19}&{5}\\{-19}&{8}&{0}\end{bmatrix}.$$
2. Usando las conocidas operaciones en $\mathbb{Z}_7:$ $$2A-3B=2A+2B=2\begin{bmatrix}{2}&{4}\\{1}&{3}\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{3}&{3}\end{bmatrix}$$ $$=\begin{bmatrix}{4}&{3}\\{2}&{1}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{0}&{2}\\{1}&{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{4}&{0}\\{3}&{2}\end{bmatrix}.$$
3. Calculemos $Y.$ Multiplicando por $3$ a la primera ecuación y por $-2$ a la segunda: $$\left \{ \begin{matrix} 6X+9Y=3A \\-6X+8Y=-2B.\end{matrix}\right.$$ Sumando ambas ecuaciones, $17Y=3A-2B.$ Multiplicando por $1/17:$ $$Y=\frac{1}{17}(3A-2B)=\frac{1}{17}\begin{bmatrix}{4}&{-5}&{-1}\\{12}&{6}&{-1}\end{bmatrix}.$$ Calculemos $X.$ Multiplicando por $4$ a la primera ecuación y por $3$ a la segunda: $$\left \{ \begin{matrix} 8X+12Y=4A \\9X-12Y=3B.\end{matrix}\right.$$ Sumando ambas ecuaciones, $17X=4A+3B.$ Multiplicando por $1/17:$ $$Y=\frac{1}{17}(4A+3B)=\frac{1}{17}\begin{bmatrix}{11}&{-1}&{10}\\{16}&{-9}&{10}\end{bmatrix}.$$
4. Usando las definiciones de suma de matrices, de producto de un escalar por una matriz, y conocidas propiedades de la suma y producto en $\mathbb{K}:$ $$\begin{aligned}&1.\;\;\lambda (A+B)=\lambda \left([a_{ij}]+[b_{ij}]\right)=\lambda [a_{ij}+b_{ij}]=
   [\lambda(a_{ij}+b_{ij})]\\
   &=[\lambda a_{ij}+\lambda b_{ij}]=[\lambda a_{ij}]+[\lambda b_{ij}]=\lambda [a_{ij}]+\lambda [b_{ij}]=\lambda A+\lambda B.\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&2.\;\;(\lambda+\mu)A=(\lambda+\mu)[a_{ij}]=[(\lambda+\mu)a_{ij}]=[\lambda a_{ij}+\mu a_{ij}]\\
   &=[\lambda a_{ij}]+[\mu a_{ij}]=\lambda [a_{ij}]+\mu [a_{ij}]=\lambda A+\mu A.\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&3.\;\;\lambda(\mu A)=\lambda(\mu[a_{ij}])=\lambda[\mu a_{ij}]=[\lambda (\mu a_{ij})]=[(\lambda \mu)a_{ij}]=(\lambda\mu)[a_{ij}]=(\lambda\mu)A.\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}4.\;\;1A=1[a_{ij}]=[1a_{ij}]=[a_{ij}]=A.\end{aligned}$$