Una integral por derivación paramétrica (1)

Enunciado
Usando derivación paramétrica, calcular la integral $$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{\arctan (\sin x)}{\sin x}\;dx.$$

Solución
En $[0,\pi/2]$ el denominador se anula sólo para $x=0$. Por otra parte para todo $\lambda\in\mathbb{R}$

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\arctan(\lambda \sin x)}{\sin x}=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\lambda \sin x}{\sin x}=\lambda,$

por tanto la siguiente función está bien definida (por medio de una integral convergente)

$I:[0,+\infty)\to \mathbb{R},\;\;I(\lambda)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{\arctan (\lambda \sin x)}{\sin x}\;dx.$

Se cumplen las hipótesis del teorema de la derivación paramétrica, por tanto

$I'(\lambda)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{dx}{1+\lambda^2\sin^2 x}.$

Usando la substitución $t=\tan x$

$I'(\lambda)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{ \dfrac{dt}{1+t^2} }{ 1+\dfrac{\lambda^2 t^2}{1+t^2} }=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{dt}{(1+\lambda^2)t^2+1}.$

Usando la substitución $u=\sqrt{1+\lambda^2}t$

$I'(\lambda)=\dfrac{1}{\sqrt{1+\lambda^2}}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{du}{u^2+1}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\lambda^2}}\dfrac{\pi}{2}.$

Integrando ambos miembros

$I(\lambda)=\dfrac{\pi}{2}\log \left|\lambda+\sqrt{\lambda^2+1}\right|+C.$

Para $\lambda=0$ tenemos $0=0+C$ es decir $C=0$ , entonces $$I(\lambda)=\dfrac{\pi}{2}\log\left |\lambda+\sqrt{\lambda^2+1}\right|.$$ Como consecuencia

$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{\arctan (\sin x)}{\sin x}dx=I(1)=\dfrac{\pi}{2}\log (1+\sqrt{2})=\dfrac{\pi}{2}\sinh^{-1}1.$