Integración de funciones racionales (2)

Publicada el abril 26, 2014 por Fernando Revilla
RESUMEN TEÓRICO
  • Hemos visto como se calculan las integrales de funciones racionales cuando el denominador tiene todas sus raíces reales (repetidas o no). Veamos ahora como se calculan las integrales de los tipos: $$(i)\;\int \frac{1}{ax^2+bx+c}dx,\qquad (ii)\;\int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx.$$ con $a\neq 0$ y $ax^2+bx+c$ sin raíces reales. Para resolver la integral $(i)$ basta completar cuadrados en el denominador y usar la fórmula de integración inmediata: $$\int\frac{u’}{u^2+1}dx=\arctan u+C.\qquad (1)$$
  • Ejemplo 1.  Calcular $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+2x+5}.$
    Solución.  El denominador no tiene raíces reales. Completando cuadrados, obtenemos $x^2+2x+5=(x+1)^2+4.$ Entonces, $$\begin{aligned}&\int\frac{dx}{x^2+2x+5}=\int\frac{dx}{(x+1)^2+4}= \frac{1}{4}\int\frac{dx}{\frac{(x+1)^2}{4}+1}=\frac{1}{4}\int\frac{dx}{\left(\frac{x+1}{2}\right)^2+1}\\
    &=\frac{1}{4}\cdot 2\int\frac{\frac{1}{2}dx}{\left(\frac{x+1}{2}\right)^2+1}=\frac{1}{2}\arctan \frac{x+1}{2}+C.
    \end{aligned}$$  Para resolver la integral $(ii)$ basta escribir en el numerador la derivada del denominador, esto es $2ax+b,$ y compensar adecuadamente con constantes. Aparecerá la suma de dos integrales, en una de ellas aplicaremos la fórmula $(1)$ y en la otra la fórmula de integración inmediata: $$\int\frac{u’}{u}dx=\log |u|+C.$$
  • Ejemplo 2.  Calcular $\displaystyle\int\frac{3x+1}{x^2+2x+5}dx.$
    Solución.  La derivada del denominador es $2x+2.$ Escribamos $3x+1=\alpha (2x+2)+\beta.$ Identificando coeficientes, obtenemos $3=2\alpha$ y $1=2\alpha+\beta,$ con lo cual $\alpha=3/2$ y $\beta=-2.$ Entonces, $$\begin{aligned}& \int\frac{3x+1}{x^2+2x+5}dx=\int\frac{\frac{3}{2}(2x+2)-2}{x^2+2x+5}dx=\frac{3}{2}\int\frac{2x+2}{x^2+2x+5}dx\\
    &-2\int\frac{1}{x^2+2x+5}dx=\frac{3}{2}\log |x^2+2x+5|-2\int\frac{1}{x^2+2x+5}dx.
    \end{aligned}$$ Ahora bien, la última integral ya la habíamos resuelto. Queda:
    $$\begin{aligned}& \int\frac{3x+1}{x^2+2x+5}dx=\frac{3}{2}\log |x^2+2x+5|-\arctan \frac{x+1}{2}+C.
    \end{aligned}$$
  • Nota.  Otra manera de completar cuadrados en el denominador, es escribir $ax^2+bx+c=a(x+k)^2+l,$ e identificar coeficientes. En nuestro caso sería: $$x^2+2x+5=1(x+k)^2+l=x^2+2kx+k^2+l.$$ Identificando coeficientes, $1=1,$ $2k=2$ y $k^2+l=5.$ Resolviendo el sistema, queda $k=1,$ y $l=4,$ con lo cual $x^2+2x+5=(x+1)^2+4.$
    Enunciado
  1. Calcular $\displaystyle\int \dfrac{dx}{3x^2-x+1}.$
  2. Calcular $\displaystyle\int\frac{4x-5}{3x^2-x+1}dx.$
  3. Sea el trinomio $ax^2+bx+c\;(a>0).$ Demostrar que si dicho trinomio no tiene raíces reales, entonces $$\displaystyle\int\dfrac{dx}{ax^2+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan \dfrac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C.$$
    Solución
  1. El denominador no tiene raíces. Completemos cuadrados: $$3x^2-x+1=3(x+k)^2+l=3x^2+6kx+3k^2+l.$$ Identificando coeficientes, $3=3,$ $6k=-1,$ $3k^2+l=1.$ Resolviendo, queda $k=-1/6$ y $l=11/12,$ con lo cual
    $$3x^2-x+1=3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{11}{12}.$$ Entonces, $$\begin{aligned}&\int\frac{dx}{3x^2-x+1}=\int\frac{dx}{3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{11}{12}}= \frac{12}{11}\int\frac{dx}{\frac{36}{11}\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+1}=\\
    &\frac{12}{11}\int\frac{dx}{\left(\frac{6}{\sqrt{11}}\left(x-\frac{1}{6}\right)\right)^2+1}=\frac{12}{11}\frac{\sqrt{11}}{6}\int\frac{\frac{6}{\sqrt{11}}dx}{\left(\frac{6}{\sqrt{11}}\left(x-\frac{1}{6}\right)\right)^2+1}\\
    &=\frac{2}{\sqrt{11}}\arctan \left(\frac{6}{\sqrt{11}}\left(x-\frac{1}{6}\right)\right)+C=\frac{2}{\sqrt{11}}\arctan \frac{6x-1}{\sqrt{11}}+C.
    \end{aligned}$$
  2. La derivada del denominador es $6x-1.$ Escribamos $4x-5=\alpha (6x-1)+\beta.$ Identificando coeficientes, obtenemos $4=6\alpha$ y $-5=-\alpha+\beta,$ con lo cual $\alpha=2/3$ y $\beta=-13/3.$ Entonces, $$\begin{aligned}& \int\frac{4x-5}{3x^2-x+1}dx=\int\frac{\frac{2}{3}(6x-1)-\frac{13}{3}}{3x^2-x+1}dx=\frac{2}{3}\int\frac{6x-1}{3x^2-x+1}dx\\
    &-\frac{13}{3}\int\frac{1}{3x^2-x+1}dx=\frac{2}{3}\log |3x^2-x+1|-\frac{13}{3}\int\frac{1}{3x^2-x+1}dx.
    \end{aligned}$$ Ahora bien, la última integral ya la habíamos calculado en el ejercicio anterior: $$\begin{aligned}&\int\frac{dx}{3x^2-x+1}=\frac{2}{\sqrt{11}}\arctan \frac{6x-1}{\sqrt{11}}+C.
    \end{aligned}$$ Queda: $$\begin{aligned}& \int\frac{3x+1}{x^2+2x+5}dx=\frac{2}{3}\log |x^2+2x+5|-\frac{26}{3\sqrt{11}}\arctan \frac{6x-1}{\sqrt{11}}+C.
    \end{aligned}$$
  3. Completemos cuadrados: $$ax^2+bx+c=a(x+k)^2+l=ax^2+2akx+ak^2+l.$$ Identificando coeficientes, $a=a,$ $2ak=b,$ $ak^2+l=c.$ Resolviendo, queda $k=b/2a$ y $l=(4ac-b^2)/4a,$ con lo cual $$ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}.\qquad (1)$$ Por hipótesis, el trinomio $ax^2+bx+c$ no tiene raíces reales, por tanto $4ac-b^2>0,$ y al ser $a>0,$ el último término de $(1)$ es positivo. Entonces, $$\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}=\int\frac{dx}{a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}}$$ $$=\frac{4a}{4ac-b^2}\int\frac{dx}{\frac{4a^2}{4ac-b^2}\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+1}$$ $$=\frac{4a}{4ac-b^2}\int\frac{dx}{\left(\frac{2a}{\sqrt{4ac-b^2}}\left(x+\frac{b}{2a}\right)\right)^2+1}$$ $$=\frac{4a}{4ac-b^2}\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\int\frac{\frac{2a}{\sqrt{4ac-b^2}}dx}{\left(\frac{2a}{\sqrt{4ac-b^2}}\left(x+\frac{b}{2a}\right)\right)^2+1}$$ $$=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan \frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}+C.$$
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