Límite de una sucesión matricial

Usando diagonalización, hallamos el límite de una sucesión matricial.

Enunciado
Sea $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ una aplicación lineal cuya matriz respecto de la base canónica es $A.$ Se sabe que $f(2,-1)=(1,-1)$ y que $f(1,-2)=(2,-4).$

1. Determinar $A.$
2. Hallar los valores y vectores propios de $f.$
3. Calcular una matriz $P$ tal que $P^{-1}AP$ sea diagonal y comprobar el resultado.
4. Hallar el límite de la sucesión matricial $$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(I+\dfrac{1}{3}A+\dfrac{1}{3^2}A^2+\ldots+\dfrac{1}{3^n}A^n\right).$$

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. Industriales de la UPM).

Solución
1. Denominemos por $B_c=\{e_1,e_2\}$ a la base canónica de $\mathbb{R}^2.$ Entonces, de los datos y teniendo en cuenta que $f$ es lineal:

$\left \{ \begin{matrix} f(2e_1-e_2)=e_1-e_2\\ f(e_1-2e_2)=2e_1-4e_2, \end{matrix}\right. \mbox{ o bien } \left \{ \begin{matrix} 2f(e_1)-f(e_2)=e_1-e_2\\ f(e_1)-2f(e_2)=2e_1-4e_2 .\end{matrix}\right.$

Resolviendo el sistema obtenemos $ f(e_1)=\dfrac{2}{3}e_2,f(e_2)=-e_1+\dfrac{7}{3}e_2$ y trasponiendo coeficientes: $A=\begin{bmatrix}{0}&{-1}\\{\frac{2}{3}}&{\;\;\frac{7}{3}}\end{bmatrix}\;.$

2. Valores propios de $A:$

$$\begin{vmatrix}{-\lambda}&{-1}\\{\dfrac{2}{3}}&{\dfrac{7}{3}-\lambda}\end{vmatrix}=\lambda^2-\frac{7}{3}\lambda+\frac{2}{3}=0 \Leftrightarrow \lambda=2\;\vee\;\lambda=\frac{1}{3}\mbox{ (simples)}.$$

Subespacios propios:

$$\ker (A-2I) \equiv \left \{ \begin{matrix} -2x_1-x_2=0\\ \frac{2}{3}x_1+\frac{1}{3}x_2=0 ,\end{matrix}\right.\quad \ker (A-\frac{1}{3}I) \equiv \left \{ \begin{matrix} -\frac{1}{3}x_1-x_2=0\\ \frac{2}{3}x_1+2x_2=0 .\end{matrix}\right.$$

Como ambos valores propios son simples, la dimensión de sus subespacios propios es $1,$ y unas bases respectivas de éstos son $B_2=\{(1,-2)\}$ y $B_{1/3}=\{(3,-1)\}.$

3. La matriz de $f$ en la base $B=\{(1,-2),(3,-1)\}$ es $D=\mbox{diag }(2,1/3)$ y la matriz de cambio de la base canónica a la $B$ es:

$P=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{\;\;3}\\{-2}&{-1}\end{bmatrix}\;.$

En consecuencia se verifica $P^{-1}AP=D$ o de forma equivalente $AP=PD.$ Comprobemos el resultado:

$$AP=\begin{bmatrix}{0}&{-1}\\{\frac{2}{3}}&{\;\;\frac{7}{3}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\;\;1}&{\;\;3}\\{-2}&{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\;\;2}&{\;\;1}\\{-4}&{-\frac{1}{3}}\end{bmatrix}\;,$$ $$
PD=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{\;\;3}\\{-2}&{-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\;\;2}&{\;\;1}\\{-4}&{-\frac{1}{3}}\end{bmatrix}\;.$$

4. De la relación $P^{-1}AP=D$ se deduce $A=PDP^{-1}$ y por tanto $$A^{k}=PDP^{-1}PDP^{-1}\ldots PDP^{-1}=PD^kP^{-1}.$$ La expresión $E_n$ bajo el límite la podemos escribir en la forma:

$\displaystyle\begin{aligned}
E_n&=I+\dfrac{1}{3}A+\dfrac{1}{3^2}A^2+\ldots+\dfrac{1}{3^n}A^n\\
&=PIP^{-1}+\dfrac{1}{3}PDP^{-1}+\dfrac{1}{3^2}PD^2P^{-1}+\ldots+\dfrac{1}{3^n}PD^nP^{-1}\\
&=P\left(I+\dfrac{1}{3}D+\dfrac{1}{3^2}D^2+\ldots+\dfrac{1}{3^n}D^n\right)P^{-1}\\
&=P\;\left(\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}+\frac{1}{3}\begin{bmatrix}{2}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{bmatrix}+\dfrac{1}{3^2}\begin{bmatrix}{2^2}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3^2}}\end{bmatrix}+\ldots+\dfrac{1}{3^n}\begin{bmatrix}{2^n}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3^n}}\\
\end{bmatrix}\right)\;P^{-1}\\
&=P\;\begin{bmatrix}{1+\left(\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{3}\right)^2+\ldots+\left(\frac{2}{3}\right)^n }&{0}\\{0}& 1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\ldots+\frac{1}{3^{2n}}\end{bmatrix}\;P^{-1}\\
&=P\;\begin{bmatrix}{\dfrac{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}-1}{ \frac{2}{3}-1 }}&{0}\\{0}&{\dfrac{\frac{1}{9^{n+1}}-1}{\frac{1}{9}-1}}\end{bmatrix}\;P^{-1}
\end{aligned}$

En donde hemos aplicado la conocida fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica. Teniendo en cuenta que si $|a|<1$ entonces $a^n\to 0$ cuando $n\to \infty$ y que las matrices $P$ y $P^{-1}$ son constantes (no dependen de $n$), el límite pedido es:

$\displaystyle\begin{aligned}
\displaystyle\lim_{n \to \infty}E_n&=P\displaystyle\lim_{n \to \infty}\begin{bmatrix}{\dfrac{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}-1}{ \frac{2}{3}-1 }}&{0}\\{0}&{\dfrac{\frac{1}{9^{n+1}}-1}{\frac{1}{9}-1}}\end{bmatrix}\;P^{-1}\\
&=P\;\begin{bmatrix}{3}&{0}\\{0}&{\frac{9}{8}}\end{bmatrix}\;P^{-1}\\
&=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{\;\;3}\\{-2}&{-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{3}&{0}\\{0}&{\frac{9}{8}}\end{bmatrix}\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}{-1}&{-3}\\{\;\;2}&{\;\;1}\end{bmatrix}\\
&=\dfrac{3}{40}\begin{bmatrix}{10}&{-33}\\{10}&{\;\;51}\end{bmatrix}
\end{aligned}$