Calculamos el polinomio de Taylor de una solución de una ecuación diferencial.
Enunciado
Calcular el polinomio de Taylor de cuarto grado (centrado en el origen) de la solución $x(t)$ del problema de valor inicial
$\begin{aligned}
&x'(t)=\log (1+t+x),\\
&x(0)=0.
\end{aligned}$
(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).
Solución
La función $f(t,x)=\log (1+t+x)$ está definida en el dominio del plano
$D=\{(t,x)\in \mathbb{R}^2: t+x+1>0\}.$
Por otra parte $(0,0)\in D,$ y tanto $f(x,t)$ como $\dfrac{{\partial f}}{{\partial x}}(x,t)=(1+t+x)^{-1}$ son continuas en $D.$ Por un conocido teorema, se deduce que existe una única solución $x=x(t)$ al problema de valor inicial dado. El polinomio de Taylor pedido es
$p(t)=x(0)+\dfrac{x'(0)}{1!}t+\dfrac{x^{\prime\prime}(0)}{2!}t^2+\dfrac{x^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}t^3+\dfrac{x^{(4)}(0)}{4!}t^4.$
Las derivadas de órdenes $2,3$ y $4$ de $x$ son
$\begin{aligned}
&x^{\prime\prime}(t)=(1+t+x)^{-1}(1+x’),\\
&x^{\prime\prime\prime}(t)=-(1+t+x)^{-2}(1+x’)^2+(1+t+x)^{-1}x^{\prime\prime},\\
&x^{(4)}(t)=2(1+t+x)^{-3}(1+x’)^3-(1+t+x)^{-2}\;2(1+x’)x^{\prime\prime}\\
&-(1+t+x)^{-2}(1+x’)x^{\prime\prime}+(1+t+x)^{-1}x^{\prime\prime\prime}.
\end{aligned}$
Tenemos $x(0)=0$ y $x'(0)=\log 1=0.$ Particularizando sucesivamente $t=0$ en las restantes derivadas, obtenemos $x^{\prime\prime}(0)=1,$ $x^{\prime\prime\prime}(0)=0$ y $x^{(4)}(0)=-1.$ Por tanto:$$p(t)=\dfrac{1}{2}t^2-\dfrac{1}{24}t^4.$$