Suma directa de la matrices simétricas y antisimétricas

Demostramos que el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden $n$ sobre un cuerpo de característica distinta de $2$ es suma directa del subespacio de las matrices simétricas y del de las antisimétricas.

Enunciado
Sea $\mathbb{K}^{n\times n}$ el espacio vectorial real usual de las matrices cuadradas de orden $n$ sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Sean $\mathcal{S}$ y $\mathcal{A}$ los subespacios de $\mathbb{K}^{n\times n}$ formados por las matrices simétricas y antisimétricas respectivamente.
Demostrar que si $\operatorname{carac}(\mathbb{K})\neq 2,$ entonces $\mathbb{K}^{n\times n}=\mathcal{S}\oplus \mathcal{A}.$

Solución
Sea $A\in\mathcal{S}\cap\mathcal{A}$, entonces $A\in \mathcal{S}$ y $A\in \mathcal{A}$ lo cual implica $A^T=A$ y $A^T=-A.$ Restando estas dos últimas igualdades obtenemos $(1+1)A=0.$ Como $\operatorname{carac}(\mathbb{K})\neq 2,$ $1+1\neq 0$ y por tanto $A=0.$ Es decir,  $\mathcal{S}\cap\mathcal{A}=\{0\}$.

Sea $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ y supongamos que $A$ se puede expresar en la forma $A=A_1+A_2$ con $A_1$ simétrica y $A_2$ antisimétrica. Trasponiendo la igualdad anterior tendríamos $A^T=A_1-A_2.$ Sumando y restando las dos igualdades obtenemos que caso de existir la descomposición, $A_1$ y $A_2$ han de ser necesariamente
$$A_1=\dfrac{1}{1+1}\left(A+A^T\right)\;,\;A_2=\dfrac{1}{1+1}\left(A-A^T\right).$$ Denotemos por $2$ al elemento $1+1\neq 0$ de $\mathbb{K}.$ $$A_1^T=\left(\dfrac{1}{2}\left(A+A^T\right)\right)^T=\dfrac{1}{2}(A^T+(A^T)^T)=\dfrac{1}{2}(A^T+A)=A_1,$$ $$A_2^T=\left(\dfrac{1}{2}\left(A-A^T\right)\right)^T=\dfrac{1}{2}(A^T-(A^T)^T)=\dfrac{1}{2}(A^T-A)=-A_2,$$ y claramente $A=A_1+A_2$. Hemos pues demostrado que toda matriz de $\mathbb{K}^{n\times n}$ es suma de una simétrica y otra antisimétrica, por tanto $\mathbb{K}^{n\times n}=\mathcal{S}+\mathcal{A}$. Concluimos que $\mathbb{K}^{n\times n}=\mathcal{S}\oplus\mathcal{A}$.