Transposición de matrices

Proporcionamos ejercicios sobte la transposición de matrices.

Enunciado
1. Se consideran las matrices reales:$$A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{3}&{4}\\{2}&{3}\end{bmatrix}\;,\quad B=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}\\{0}&{2}&{5}\end{bmatrix}.$$ Verificar:
   $a)\;(A^T)^T=A.$
   $b)\;(A+B)^T=A^T+B^T.$
   $c)\;(\lambda A)^T=\lambda A^T,\;\forall \lambda\in\mathbb{R}.$
2. Se consideran las matrices reales:$$A=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{3}&{4}\\{2}&{3}\end{bmatrix}\;,\quad B=\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}\\{0}&{2}&{5}\end{bmatrix}.$$ Verificar que $(AB)^T=B^TA^T.$
3. Sean $A,B\in\mathbb{K}^{m\times n}$ y $\lambda\in\mathbb{K}.$ Demostrar que:
   $a)\;\left(A^T\right)^T=A.\quad b)\;(A+B)^T=A^T+B^T.\quad c)\;(\lambda A)^T=\lambda A^T.$
4. Sea $A\in M_n(\mathbb{K})$ invertible. Demostrar que la inversa de su traspuesta es la traspuesta de su inversa.
5. Sea $A\in M_n(\mathbb{K})$ simétrica e inveritble. Demostrar que $A^{-1}$ es simétrica.
6. Sean $A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$ simétricas. Demostrar que $AB$ es simétrica $\Leftrightarrow$ $AB=BA.$

Solución
1. $a)$ $(A^T)^T=\begin{bmatrix}{2}&{3}&{2}\\{-1}&{4}&{3}\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{3}&{4}\\{2}&{3}\end{bmatrix}=A.$
   $b)$ $(A+B)^T=\begin{bmatrix}{3}&{1} \\{3}&{6}\\{3}&{8}\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}{3}&{3} & 3\\{1}&{6} & 8\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}{2}&{3} & 2\\{-1}&{4} & 3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{1}&{0} & 1\\{2}&{2} & 5\end{bmatrix}=A^T+B^T.$
   $c)$ $(\lambda A)^T=\begin{bmatrix}{2\lambda}&{-\lambda}\\{3\lambda}&{4\lambda}\\{2\lambda}&{3\lambda}\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}{2\lambda}&{3\lambda}&2\lambda\\{-\lambda}&{4\lambda}&3\lambda\end{bmatrix}=\lambda \begin{bmatrix}{2}&{3}&2\\{-1}&{4}&3\end{bmatrix}=\lambda A^T.$
2. Tenemos, $$AB=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{3}&{4}\\{2}&{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{2}&{-1}\\{0}&{2}&{5}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2}&{2}&{-7}\\{3}&{14}&{17}\\{2}&{10}&{13}\end{bmatrix}$$ $$\Rightarrow (AB)^T=\begin{bmatrix}{2}&{3}&{2}\\{2}&{14}&{10}\\{-7}&{17}&{13}\end{bmatrix}.$$ $$B^TA^T=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{2}&{2}\\{-1}&{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{2}&{3}&{2}\\{-1}&{4}&{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{2}&{3}&{2}\\{2}&{14}&{10}\\{-7}&{17}&{13}\end{bmatrix}.$$ Concluimos que $(AB)^T=B^TA^T.$
3. $a)$ Si $A=[a_{ij}]\in\mathbb{K}^{m\times n},$ entonces $A^T=[a’_{ji}]\in\mathbb{K}^{n\times m}$ con $a’_{ji}=a_{ij}.$ Pero $\left(A^T\right)^T=[a»_{ij}]\in\mathbb{K}^{m\times n}$ con $a»_{ij}=a’_{ji}.$ Es decir, $a»_{ij}=a’_{ji}=a_{ij},$ por tanto $\left(A^T\right)^T=A.$
   $b)$ Si $A=[a_{ij}]\in\mathbb{K}^{m\times n},$ $A^T=[a’_{ji}]\in\mathbb{K}^{n\times m}$ con $a’_{ji}=a_{ij}.$ Si $B=[b_{ij}]\in\mathbb{K}^{m\times n},$ $B^T=[b’_{ji}]\in\mathbb{K}^{n\times m}$ con $b’_{ji}=b_{ij}.$ Entonces,$$(A+B)^T=[a_{ij}+b_{ij}]^T=[c_{ji}]\text{ con }c_{ji}=a_{ji}+b_{ji}.$$ Por otra parte, $$A^T+B^T=[a_{ji}]+[b_{ji}]=[a_{ji}+b_{ji}]=[c_{ji}],$$ lo cual implica que $(A+B)^T=A^T+B^T.$
   $c)$ Razonando de manera análoga: $$(\lambda A)^T=[\lambda a_{ij}]^T=[\lambda a_{ji}]=\lambda [a_{ji}]=\lambda A^T.$$
4. Trasponiendo la igualdad $AA^{-1}=I:$ $$ \left(AA^{-1}\right)^T=I^T\Rightarrow\left(A^{-1}\right)^TA^T=I\Rightarrow \left(A^T\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T.$$ Es decir, la inversa de la traspuesta de $A$ es la traspuesta de la inversa de $A.$
5. Usando que la traspuesta de la inversa es la inversa de la traspuesta: $$\left(A^{-1}\right)^T=\left(A^{T}\right)^{-1}=A^{-1}.$$ Es decir, $A^{-1}$ es simétrica.
6. $\Rightarrow)$ Si $AB$ es simétrica, entonces $(AB)^T=AB,$ luego $B^TA^T=AB.$ Pero por hipótesis, $A$ y $B$ son simétricas, con lo cual $BA=AB.$
   $\Leftarrow)$ Si $AB=BA,$ trasponiendo y usando que $A$ y $B$ son simétricas: $$(AB)^T=(BA)^T=A^TB^T=AB\Rightarrow AB\text{ es simétrica.}$$