Integración de funciones trigonométricas (1)

Publicada el mayo 2, 2014 por Fernando Revilla
RESUMEN TEÓRICO
  • Consideremos las integrales del tipo: $$\int \operatorname{sen}^mx\cos^ nx\;dx,\quad (m,n\text{ enteros}).$$
  • $(a)$ Si $m$ es impar y positivo, efectuamos la sustitución $t=\cos x,$ y si $n$ es impar y positivo, la sustitución $t=\operatorname{sen}x.$
    Ejemplo.       Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}^4x\;\cos^5x\;dx.$
    Efectuando la sustitución $t=\operatorname{sen}x,$ $dt=\cos x\;dx$ y por tanto: $$I=\int \operatorname{sen}^4x\;\cos^4x\cos x\;dx=\int \operatorname{sen}^4x\left(\cos^2x\right)^2\cos x\;dx$$ $$=\int \operatorname{sen}^4x\left(1-\operatorname{sen}^2x\right)^2\cos x\;dx=\int t^4\left(1-t^2\right)^2\;dt$$ $$=\int t^4\left(1-2t^2+t^4\right)\;dt=\int \left(t^4-2t^6+t^8\right)\;dt$$ $$=\frac{t^5}{5}-\frac{2t^7}{7}+\frac{t^9}{9}+C=\frac{\operatorname{sen}^5x}{5}-\frac{2\operatorname{sen}^7x}{7}+\frac{\operatorname{sen}^9x}{9}+C.$$
  • $(b)$ Si $m$ y $n$ son pares y positivos, usamos las fórmulas:$$\begin{aligned}&\operatorname{sen}^2x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x),\\
    &\cos^2x=\frac{1}{2}(1+\cos 2x),\\
    &\operatorname{sen}x\;\cos x=\frac{1}{2}\operatorname{sen} 2x,\end{aligned}$$ las cuales permiten ir rebajando sucesivamente los exponentes $m$ y $n$ hasta obtener una integral inmediata.
    Enunciado
  1. Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}^5x\;dx.$
  2. Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}^{10}x\;\cos^3x\;dx.$
  3. Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}^{2}x\;\cos^2x\;dx.$
  4. Calcular $I=\displaystyle\int \operatorname{sen}^{4}x\;dx.$
    Solución
  1. Efectuando la sustitución $t=\cos x,$ $dt=-\operatorname{sen} x\;dx$ y por tanto: $$I=\int \operatorname{sen}^4x\;\operatorname{sen}x\;dx=\int \left(1-\cos^2x\right)^2\operatorname{sen}x\;dx$$ $$=-\int \left(1-t^2\right)^2\;dt=-\int \left(1-2t^2+t^4\right)\;dt$$ $$=-t+\frac{2t^3}{3}-\frac{t^5}{5}+C=-\cos x+\frac{2\cos^3x}{3}-\frac{\cos^5x}{5}+C.$$
  2. Efectuando la sustitución $t=\operatorname{sen}x,$ $dt=\cos x\;dx$ y por tanto: $$I=\int \operatorname{sen}^{10}x\;\cos^2x\cos x\;dx=\int \operatorname{sen}^{10}x\left(1-\operatorname{sen}^2x\right)\cos x\;dx$$ $$=\int t^{10}\left(1-t^2\right)dt=\frac{t^{11}}{11}-\frac{t^{13}x}{13}+C=\frac{\operatorname{sen}^{11}x}{11}-\frac{\operatorname{sen}^{13}x}{13}+C.$$
  3. Usando $\operatorname{sen}x\;\cos x=\frac{1}{2}\operatorname{sen} 2x$ y $ \operatorname{sen}^2x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x): $ $$I=\displaystyle\int (\operatorname{sen}x\;\cos x)^2\;dx=\int\frac{1}{4}\operatorname{sen}^2 2x\;dx=\frac{1}{4}\int \frac{1}{2}(1-\cos 4x)\;dx$$ $$=\frac{1}{8}\left(x-\frac{1}{4}\operatorname{sen}4x\right)+C=\frac{x}{8}-\frac{\operatorname{sen}4x}{32}+C.$$
  4. Usando $\operatorname{sen}^2x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x):$ $$I=\int \frac{1}{4}(1-\cos 2x)^2\;dx=\frac{1}{4}\int (1-2\cos 2x+\cos^22x)\;dx$$ $$=\frac{x}{4}-\frac{\operatorname{sen}2x}{4}+\frac{1}{4}\int\cos^22x\;dx.\qquad (*)$$ Usando $\cos^22x=\frac{1}{2}(1+\cos 4x):$ $$\int\cos^22x\;dx=\frac{1}{2}\int (1+\cos 4x)\;dx=\frac{x}{2}+\frac{\operatorname{sen}4x}{8}+C.$$ Sustituyendo en $(*):$ $$I=\frac{3x}{8}-\frac{\operatorname{sen}2x}{4}+\frac{\operatorname{sen}4x}{32}+C.$$
Esta entrada ha sido publicada en Análisis real y complejo y etiquetada como , , , . Guarda el enlace permanente.