Integración de funciones hiperbólicas

RESUMEN TEÓRICO

La integración de funciones hiperbólicas es análoga a la integración de funciones trigonométricas. Recordamos algunas fórmulas relativas a las funciones hiperbólicas: $$\begin{aligned}&\cosh^2 x – \operatorname{senh}^2 x = 1\\
&\operatorname{sech} ^{2} x = 1 – \tanh^{2} x\\
& \operatorname{csch} ^{2} x = \coth^{2} x – 1\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&\operatorname{senh}^2 x =\frac{1}{2}(\cosh 2x-1).\\
&\cosh ^2 x = \frac{1}{2}(\cosh 2x+1).\\
& \operatorname{senh} x\;\cosh x =\frac{1}{2}\operatorname{senh} 2x.\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&\frac{d}{dx}\operatorname{senh} x = \cosh x,\quad\frac{d}{dx}\cosh x = \operatorname{senh} x,\quad \frac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2 x .\end{aligned}$$

Enunciado

Solución

Tenemos: $$\int \cosh^2x\;dx=\int \frac{1}{2}(1+\cosh 2x)\;dx=\frac{1}{2}\cosh x+\frac{1}{4}\cosh 2x+C.$$
Si $t=\cosh x,$ entonces $dt=\operatorname{senh}x\;dx,$ por tanto: $$\int \operatorname{senh}^3x\;dx=\int \operatorname{senh}^2x \operatorname{senh}x\;dx=\int (\cosh^2x-1)\operatorname{senh}x\;dx$$ $$=\int(t^2-1)\;dt=\frac{t^3}{3}-t+C=\frac{\cosh^3x}{3}-\cosh x+C.$$
Si $t= \operatorname{senh}x,$ entonces $dt=\cosh x\;dx,$ por tanto: $$\int \operatorname{senh}^3x\cosh x\;dx=\int t^3dt=\frac{t^4}{4}+C=\frac{\operatorname{senh}^4x}{4}+C.$$
Usando $\operatorname{senh}x\cosh x=\dfrac{1}{2}\operatorname{senh} 2x$ y $ \operatorname{senh}^2x=\dfrac{1}{2}(\cosh 2x-1): $ $$I=\displaystyle\int (\operatorname{senh}x\;\cosh x)^2\;dx=\int\frac{1}{4}\operatorname{senh}^2 2x\;dx=\frac{1}{4}\int \frac{1}{2}(\cosh 4x-1)\;dx$$ $$=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{4}\operatorname{senh}4x-x\right)+C=\frac{\operatorname{senh}4x}{32}-\frac{x}{8}+C.$$
Tenemos: $$\int\tanh^3 x\;dx=\int\tanh^2 x\tanh x\;dx=\int(1-\operatorname{sech}^2x)\tanh x\;dx$$ $$=\int \tanh x\;dx-\int \operatorname{sech}^2x\tanh x\;dx=\log (\cosh x)-\frac{\tanh^2x}{2}+C.$$