Integración de funciones trigonométricas (4)

Publicada el mayo 3, 2014 por Fernando Revilla
RESUMEN TEÓRICO
  • Sean las integrales del tipo $$\int R(\operatorname{sen}x,\cos x)\;dx,\qquad (*)$$ en donde $R$ es una función racional. Efectuando el cambio de variable $t=\tan \frac{x}{2}$ (llamado cambio universal), se verifica: $$\operatorname{sen}x=\frac{2t}{1+t^2},\;\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\; dx=\frac{2\;dt}{1+t^2},$$ con lo cual las integrales $(*)$ se transforman en integrales de funciones racionales en $t.$ Si $R(-\operatorname{sen}x,-\cos x)= R(\operatorname{sen}x,\cos x),$ es más conveniente usar el cambio $t=\tan x,$ verificándose: $$\operatorname{sen}x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\;\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},\; dx=\frac{dt}{1+t^2}.$$
    Enunciado
  1. Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{5+4\operatorname{sen}x+3\cos x}.$
  2. Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{1+\operatorname{sen}x+\cos x}.$
  3. Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{3+5\cos x}.$
  4. Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{1+\cos^2 x}.$
  5. Demostrar que si $t=\tan \dfrac{x}{2},$ entonces: $$\operatorname{sen}x=\frac{2t}{1+t^2},\;\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\; dx=\frac{2\;dt}{1+t^2}.$$
  6. Demostrar que si $t=\tan x,$ entonces: $$\operatorname{sen}x=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\;\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}},\; dx=\frac{dt}{1+t^2}.$$
    Solución
  1. Efectuando la sustitución $t=\tan \dfrac{x}{2}:$ $$I=\int\frac{\dfrac{2\;dt}{1+t^2}}{5+4\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}+3\cdot \dfrac{1-t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2\;dt}{5(1+t^2)+8t+3(1-t^2)}$$ $$=\int \dfrac{2\;dt}{2t^2+8t+8}=\int\frac{dt}{(t+2)^2}=-\frac{1}{t+2}+C=-\frac{1}{\tan \dfrac{x}{2}+2}+C.$$
  2. Efectuando la sustitución $t=\tan \dfrac{x}{2}:$ $$I=\int\frac{\dfrac{2\;dt}{1+t^2}}{1+\dfrac{2t}{1+t^2}+ \dfrac{1-t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2\;dt}{1+t^2+2t+1-t^2}$$ $$=\int \dfrac{2\;dt}{2t+2}=\int\frac{dt}{t+1}=\log |1+t|+C=\log \left|1+\tan\frac{x}{2}\right|+C.$$
  3. Efectuando la sustitución $t=\tan \dfrac{x}{2}:$ $$I=\int\frac{\dfrac{2\;dt}{1+t^2}}{3+5\cdot \dfrac{1-t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2\;dt}{3(1+t^2)+5(1-t^2)}$$ $$=\int \dfrac{\;dt}{4-t^2}=\int\left(\frac{1/4}{2+t}+\frac{1/4}{2-t}\right)\;dt=\frac{1}{4}\log |2+t|-\frac{1}{4}\log |2-t|+C$$ $$=\frac{1}{4}\log\left|\frac{2+t}{2-t}\right|+C=\frac{1}{4}\log\left|\frac{2+\tan \dfrac{x}{2}}{2-\tan \dfrac{x}{2}}\right|+C$$
  4. Claramente la función integrando $R$ satisface $$R(-\operatorname{sen}x,-\cos x)= R(\operatorname{sen}x,\cos x),$$ con lo cual, es más conveniente usar el cambio $t=\tan x.$ Tenemos: $$I=\int\frac{\dfrac{dt}{1+t^2}}{1+\dfrac{1}{1+t^2}}=\int\frac{dt}{t^2+2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \frac{t}{\sqrt{2}}+C$$ $$=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)+C.$$
  5. Usando $1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha$ y $\cos \dfrac{\alpha}{2}=\sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{2}}:$ $$1+\tan^2\frac{x}{2}=\sec^2\frac{x}{2}\Rightarrow 1+t^2=\frac{1}{\cos^2\dfrac{x}{2}}\Rightarrow 1+t^2=\frac{1}{\dfrac{1+\cos x}{2}}$$ $$\Rightarrow 1+t^2=\frac{2}{1+\cos x}\Rightarrow 1+\cos x=\frac{2}{1+t^2}$$ $$\Rightarrow \cos x=\frac{2}{1+t^2}-1=\frac{2-1-t^2}{1+t^2}=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$ Usando $\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1:$ $$\operatorname{sen}x=\sqrt{1-\cos^2x}=\sqrt{1-\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2}$$ $$=\sqrt{\frac{(1+t^2)^2-(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}}=\dfrac{\sqrt{4t^2}}{1+t^2}=\frac{2t}{1+t^2}.$$ Diferenciando $t=\tan \dfrac{x}{2}:$ $$dt=\frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}\;dx= \frac{1}{2}\left(1+\tan^2\frac{x}{2}\right)\;dx=\frac{1+t^2}{2}dx\Rightarrow dx=\frac{2\;dt}{1+t^2}.$$
  6. Si $t=\tan x,$ entonces $1+t^2=\sec^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$ y por tanto, $$\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}.$$ Por otra parte: $$\operatorname{sen}x=\sqrt{1-\cos^2x}=\sqrt{1-\frac{1}{1+t^2}}=\sqrt{\frac{t^2}{1+t^2}}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}.$$ Diferenciando $t=\tan x:$ $$dt=\sec^2 x\;dx=(1+\tan^2x)\;dx=(1+t^2)\;dx\Rightarrow dx=\frac{dt}{1+t^2}.$$
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