Determinante e inversa de orden n

Calculamos un determinante y una inversa de orden $n.$

Enunciado
Se considera la matriz

$M_n= \begin{bmatrix} a_1+a_2 & -a_2 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
-a_2 & a_2+a_3 & -a_3 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\
0 & -a_3 & a_3+a_4 & -a_4 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
\vdots&&&&&&&\vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -a_{n-1} & a_{n-1}+a_n & -a_n\\
0 & 0 & 0 & 0 &\ldots & 0 & -a_n & a_n\end{bmatrix}$

siendo $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales no nulos y sea $D_n=\det M_n$.

1. Calcular $D_1,D_2,D_3$. ( Nótese que $M_1=[a_1]$ )
2. Encontrar una relación entre $D_n$ y $D_{n+1}$.
3. Calcular $D_n$.
4. Sean $b_1=\dfrac{1}{a_1},\;b_i=b_{i-1}+\dfrac{1}{a_i},\;i=2,3,\ldots n$ y sea

$A_n= \begin{bmatrix} b_1 & b_1 & b_1 & \ldots & b_1 & b_1 \\
b_1 & b_2 & b_2 & \ldots & b_2 & b_2 \\
b_1 & b_2 & b_3 & \ldots & b_3 & b_3 \\
\vdots&&&&&\vdots \\
b_1 & b_2 & b_3 & \ldots & b_{n-1} & b_{n-1}\\
b_1 & b_2 & b_3 & \ldots & b_{n-1} & b_{n}\end{bmatrix}\;.$

Hallar $|A_n|$ en función de $a_1,a_2,\ldots,a_n$.
5. Calcular el producto $M_n\cdot A_n$ y deducir $M_n^{-1}$.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución

1. Para hallar $D_2$ sumamos a la primera fila la segunda y para $D_3$ sumamos a la segunda fila la tercera.

$D_1=\det [a_1]=a_1,\;D_2=\begin{vmatrix}{a_1+a_2}&{-a_2}\\{-a_2}&{a_2}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{a_1}&{0}\\{-a_2}&{a_2}\end{vmatrix}=a_1a_2,$ $
D_3=\begin{vmatrix}{a_1+a_2}&{-a_2}& 0\\{-a_2}&{a_2+a_3}& -a_3\\ 0& -a_3& a_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{a_1+a_2}&{-a_2}& 0\\{-a_2}&{a_2}& 0\\ 0& -a_3& a_3\end{vmatrix}=a_3D_2=a_1a_2a_3.$

2. Sumando a la penúltima fila la última:

$D_{n+1}= \begin{vmatrix} a_1+a_2 & -a_2 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
-a_2 & a_2+a_3 & -a_3 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\
0 & -a_3 & a_3+a_4 & -a_4 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
\vdots&&&&&&&\vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -a_{n} & a_{n}+a_{n+1} & -a_{n+1}\\
0 & 0 & 0 & 0 &\ldots & 0 & -a_{n+1} & a_{n+1}\end{vmatrix}$ $=
\begin{vmatrix} a_1+a_2 & -a_2 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
-a_2 & a_2+a_3 & -a_3 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\
0 & -a_3 & a_3+a_4 & -a_4 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
\vdots&&&&&&&\vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -a_{n} & a_{n} & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 &\ldots & 0 & -a_{n+1} & a_{n+1}\end{vmatrix}=a_{n+1}D_n.$

3. Los cálculos efectuados en el primer apartado sugieren la fórmula $D_n=a_1a_2\ldots a_n$. Demostrémosla por inducción. Está demostrado que es cierta para $n=1$. Se cierta para $n$, entonces por el apartado anterior, $D_{n+1}=a_{n+1}D_n=a_1a_2\ldots a_na_{n+1}$ es decir, la fórmula es cierta para $n+1$.

4. Sumando a la penúltima fila la última y usando las relaciones entre los números $a_j$ y $b_j$ obtenemos

$|A_n|= \begin{vmatrix} b_1 & b_1 & b_1 & \ldots & b_1 & b_1 \\
0 & b_2-b_1 & b_2-b_1 & \ldots & b_2-b_1 & b_2-b_1 \\
0 & 0 & b_3-b_2 & \ldots & b_3-b_2 & b_3-b_2 \\
\vdots&&&&&\vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & b_{n-1}-b_{n-2} & b_{n-1}-b_{n-2}\\
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & b_{n}-b_{n-1}\end{vmatrix}$ $=
b_1(b_2-b_1)(b_3-b_2)\ldots( b_{n-1}-b_{n-2})(b_{n}-b_{n-1})=\dfrac{1}{a_1}\dfrac{1}{a_2}\dfrac{1}{a_3}\ldots \dfrac{1}{a_n}.$

5. Usando de nuevo las relaciones entre los números $a_j$ y $b_j$ fácilmente obtenemos $M_n\cdot A_n=I_n$ de lo cual se deduce que $M_n^{-1}=A_n.$