Determinantes por triangularización

Publicada el mayo 5, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de determinantes por triangularización.

RESUMEN TEÓRICO
  • Dado un determinante, es interesante para su cálculo  intentar la triangularización, dado que el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
    Enunciado
  1. Calcular el determinante $$\Delta=\begin{vmatrix}x & a & b & c & d\\
    x & x & a & b & c\\
    x & x & x & a & b\\
    x & x & x & x & a\\
    x & x & x & x & a\\
    \end{vmatrix}.$$
  2. Calcular el determinante $$\Delta_n=\begin{vmatrix}
    n & 1 & 1 & \ldots & 1\\
    n & 2 & 1 & \ldots & 1 \\
    n & 1 & 3 & \ldots & 1 \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    n & 1 & 1 & \ldots & n
    \end{vmatrix}.$$
  3. Calcular el determinante $$\Delta_n=\begin{vmatrix}
    1 & 2 & 2 & \ldots & 2\\
    2 & 2 & 2 & \ldots & 2 \\
    2 & 2 & 3 & \ldots & 2 \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    2 & 2 & 2 & \ldots & n
    \end{vmatrix}.$$
  4. Calcular el determinante $$\Delta_n=\begin{vmatrix}
    1 & 2 & 3 & \ldots & n\\
    -1 & 0 & 3 & \ldots & n \\
    -1 & -2 & 0 & \ldots & n \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    -1 & -2 & -3 & \ldots & 0
    \end{vmatrix}.$$
  5. Calcular el determinante de orden $n$, $$\Delta_n=\begin{vmatrix}
    a & b & b & \ldots & b\\
    b & a & b & \ldots & b \\
    b & b & a & \ldots & b \\
    \vdots&&&&\vdots\\
    b & b & b & \ldots & a
    \end{vmatrix}.$$
  6. Calcular el determinante $$\Delta_n=\begin{vmatrix}
    1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    1 & 3 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    1 & 2 & 5 & \ldots & n-1 & n\\
    \vdots&&&&&\vdots \\
    1 & 2 & 3 & \ldots & 2n-3 & n\\
    1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & 2n-1
    \end{vmatrix}.$$
  7. Calcular el determinante $$D(x)=
    \begin{vmatrix}
    x & 1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    1 & x & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    1 & 2 & x & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    1 & 2 & 3 & x & \ldots & n-1 & n\\
    \vdots&&&&&&\vdots \\
    1 & 2 & 3 & 4 &\ldots & x & n\\
    1 & 2 & 3 & 4 &\ldots & n & x
    \end{vmatrix}.$$ Resolver la ecuación $D(x)=0.$
  8. Se considera el determinante de orden $n$, $$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    1 & 1 & 1 & 1 &\ldots & 1\\
    -1 & 1 & 7 & 7 & \ldots & 7 \\
    -1 & -1 & 1 & 7 & \ldots & 7 \\
    \vdots&&&&&\vdots\\
    & & & & & \\
    -1 & -1 & -1 & -1 & \ldots & 1
    \end{vmatrix}.$$ Resolver la ecuación $\Delta_n=2^5.$
  9. Calcular $\det A,$ siendo $A=[a_{ij}]\in\mathbb{R}^{n\times n}$ definida por $a_{ij}=\min\{i,j\}.$
    Solución
  1. Restando a cada columna la siguiente: $$\Delta=\begin{vmatrix}
    x -a& a-b & b-c & c-d & d\\
    0 & x-a & a-b & b-c & c\\
    0 & 0 & x-a & a-b & b\\
    0 & 0 & 0 & x-a & a\\
    0 & 0 & 0 & 0 & x\\
    \end{vmatrix}=(x-a)^4x.$$
  2. Restando a cada fila (a partir de la segunda), la primera: $$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    n & 1 & 1 & \ldots & 1\\
    0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
    0 & 0 & 2 & \ldots & 0 \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    0 & 0 & 0 & \ldots & n-1
    \end{vmatrix}=n\cdot1\cdot 2\cdot\ldots\cdot (n-1)=n!.$$
  3. Efectuando las transformaciones $F_2-2F_1,$ $F_3-F_2,F_4-F_2,\ldots,F_n-F_2:$ $$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    1 & 2 & 2 & \ldots & 2\\
    0 & -2 & -2 & \ldots & -2 \\
    0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    0 & 0 & 0 & \ldots & n-2
    \end{vmatrix}=1\cdot (-2)\cdot 1\cdot \ldots\cdot (n-2)=-2[(n-2)!].$$
  4. Sumando a cada fila (menos a la primera), la primera: $$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    1 & 2 & 3 & \ldots & n\\
    0 & 2 & 6 & \ldots & 2n \\
    0 & 0 & 3 & \ldots & 2n \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    0 & 0 & 0 & \ldots & n
    \end{vmatrix}=1\cdot 2\cdot3\cdot\ldots\cdot n=n!.$$
  5. Restando a tolas las filas (salvo a la primera), la primera: $$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    a & b & b & \ldots & b\\
    b -a& a-b & 0 & \ldots & 0 \\
    b-a & 0 & a-b & \ldots & 0 \\
    \vdots&&&&\vdots\\
    b -a& 0 & 0 & \ldots & a
    -b\end{vmatrix}.$$ Sumando a la primera columna la suma de todas las demás: $$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    a +(n-1)b& b & b & \ldots & b\\
    0 & a-b & 0 & \ldots & 0 \\
    0 & 0 & a-b & \ldots & 0 \\
    \vdots&&&&\vdots\\
    0 & 0 & 0 & \ldots & a
    -b\end{vmatrix}=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}.$$
  6. Restando a cada fila (menos a la primera), la primera:$$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0\\
    0 & 0 & 2 & \ldots & 0 & 0\\
    \vdots&&&&&\vdots \\
    0 & 0 & 0 & \ldots & n-2 & 0\\
    0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & n-1
    \end{vmatrix}$$ $$=1\cdot1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-2)\cdot(n-1)=(n-1)!.$$
  7. Sumando a cada columna las demás: $$D(x)=
    \begin{vmatrix}
    x +1+2+3+\cdots+(n-1)+n & 1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    x +1+2+3+\cdots+(n-1)+n& x & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    x +1+2+3+\cdots+(n-1)+n& 2 & x & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    x +1+2+3+\cdots+(n-1)+n& 2 & 3 & x & \ldots & n-1 & n\\
    \vdots&&&&&&\vdots \\
    x +1+2+3+\cdots+(n-1)+n& 2 & 3 & 4 &\ldots & x & n\\
    x +1+2+3+\cdots+(n-1)+n& 2 & 3 & 4 &\ldots & n & x
    \end{vmatrix}$$ $$=\left(x +1+2+3+\cdots+(n-1)+n\right)
    \begin{vmatrix}
    1 & 1 & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    1& x & 2 & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    1 & 2 & x & 3 & \ldots & n-1 & n\\
    1 & 2 & 3 & x & \ldots & n-1 & n\\
    \vdots&&&&&&\vdots \\
    1 & 2 & 3 & 4 &\ldots & x & n\\
    1 & 2 & 3 & 4 &\ldots & n & x
    \end{vmatrix}.$$ Usando la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética y efectuando las transformaciones $C_2-C_1,$ $C_3-2C_1,$ $C_4-3C_1,$ … $,C_{n+1}-nC_1:$$$D(x)=\left(x+\frac{n(n+1)}{2}\right)
    \begin{vmatrix}
    1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\
    1& x-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\
    1 & 1 & x-2 & 0 & \ldots & 0 & 0\\
    1 & 1 & 1 & x-3 & \ldots & 0 & 0\\
    \vdots&&&&&&\vdots \\
    1 & 1 & 1 & 1 &\ldots & x-(n-1) & 0\\
    1 & 1 & 1 & 1 &\ldots & 1 & x-n
    \end{vmatrix}$$ $$=\left(x+\frac{n(n+1)}{2}\right)(x-1)(x-2)(x-3)\ldots (x-n).$$ Las soluciones de la ecuación $D(x)=0$ son por tanto:$$x=-\frac{n(n+1)}{2},\;x=1,\;x=2,\;x=3,\:\ldots,\;x=n.$$
  8. Sumamdo a todas las filas (menos a la primera), la primera: $$\Delta_n=
    \begin{vmatrix}
    1 & 1 & 1 & 1 &\ldots & 1\\
    0 & 2 & 8 & 8 & \ldots & 8 \\
    0 & 0 & 2 & 8 & \ldots & 8 \\
    \vdots&&&&&\vdots\\
    & & & & & \\
    0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 2
    \end{vmatrix}=2^{n-1}.$$ Por otra parte, $\Delta_n=2^5\Leftrightarrow 2^{n-1}=2^5\Leftrightarrow n-1=5\Leftrightarrow n=6.$
  9. El determinante de $A$ es $$\det A=\begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & a_{13} &\ldots & a_{1n}\\
    a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n} \\
    a_{31} & a_{32} & a_{33} & \ldots & a_{3n} \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    a_{n1} & a_{m2} & a_{n3} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}=
    \begin{vmatrix}
    1 & 1 & 1 &\ldots & 1\\
    1 & 2 & 2 & \ldots & 2 \\
    1 & 2 & 3 & \ldots & 3 \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    1 & 2 & 3 & \ldots & n\end{vmatrix}.$$ Restando a cada fila la anterior: $$\det A=\begin{vmatrix}
    1 & 1 & 1 &\ldots & 1\\
    0 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\
    0 & 0 & 1 & \ldots & 1 \\
    \vdots&&&&\vdots \\
    0 & 0 & 0 & \ldots & 1\end{vmatrix}=1.$$
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