Determinante por inducción y sistema lineal

Calculamos un eterminante de orden $n$ por inducción, y lo aplicamos a la discusión de un sistema lineal.

Enunciado
Para cada $n\in\mathbb{N}^*$ y para cada par $a,b\in\mathbb{C}$ se considera la matriz

$A_n(a)=\begin{bmatrix} 1+a & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ a & 1+a & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & a & 1+a & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&&&&&\vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1+a & 1 \\0 & 0 & 0 & \ldots & a & 1+a\end{bmatrix}\in\mathbb{C}^{(n,n)}$

y el sistema $A_n(a)X=(0,0,\ldots,0,b)^t$, donde $X\in\mathbb{C}^{(n,1)}.$ Se pide:

1. Calcular los determinantes de $A_1(a),\;A_2(a)$ y $A_3(a)$.
2. Obtener una relación lineal entre los determinantes de $A_n(a),\;A_{n+1}(a)$ y $A_{n+2}(a)$.
3. Hallar, en función de $a$ y $n$, una expresión del determinante de $A_n(a)$ y demostrar su validez.
4. Determinar todos los valores de $a$ y $b$ para los que el sistema dado es compatible determinado, indeterminado e incompatible.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
Los determinantes pedidos son $$\det A_1(a)=1+a,\;\det A_2(a)=\begin{vmatrix}{1+a}&{1}\\{a}&{1+a}\end{vmatrix}=1+a+a^2,$$ $$ \det A_3(a)=\begin{vmatrix}{1+a}&{1}&{0}\\{a}&{1+a}&{1}\\ 0 & a &1+a\end{vmatrix}=1+a+a^2+a^3.$$
2. Desarrollando por los elementos de la primera columna

$\det A_{n+2}(a)=(1+a)\;\begin{vmatrix} 1+a & 1 & \ldots & 0 & 0\\ a & 1+a & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots&&&&\vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1+a & 1 \\0 & 0 & \ldots & a & 1+a\end{vmatrix}$ $
-a\;\begin{vmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ a & 1+a & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots&&&&\vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1+a & 1 \\0 & 0 & \ldots & a & 1+a\end{vmatrix}=(1+a)\det A_{n+1}-a\det A_n(a).$

Esta igualdad equivale a

$\det A_{n+1}(a)=(1+a)\det A_{n}-a\det A_{n-1}(a)\;\;(n\geq 2).\qquad (1)$

3. El cálculo de los determinantes del primer apartado permite conjeturar la fórmula

$\det A_n(a)=1+a+a^2+\ldots +a^n.\qquad (2)$

Veamos que la fórmula (2) es cierta aplicando el método de inducción.

Paso base La fórmula (2) es cierta para $n=1,2,3$ como se vio en el primer apartado.
Paso de inducción Supongamos que (2) es cierta para todo $k\leq n$. Veamos que es cierta para $n+1$. Usando (1):

$\det A_{n+1}(a)=(1+a)(1+a+a^2+\ldots+a^n)-a(1+a+a^2+\ldots+a^{n-1})$ $=1+a+a^2+\ldots+a^n+a+a^2+a^3+\ldots+a^{n+1}-a-a^2-a^3-\ldots-a^n$ $=1+a+a^2+a^3\ldots+a^{n+1}.$

La fórmula (2) es también cierta para $n+1$.

4. Usando la fórmula de la suma de los términos una progresión geométrica tenemos

$\det A_n(a)=1+a+a^2+\ldots+a^n=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}\quad (a\neq 1),$

es decir, los valores que anulan a $\det A_n(a)$ son las raíces de orden $n+1$ de la unidad excluida la raíz $1$:

$\det A_n(a)=0\Leftrightarrow a=w_k=\cos \dfrac{2k\pi}{n+1}+i \sin \dfrac{2k\pi}{n+1}\quad (k=1,2,\ldots,n).$

Llamemos $B$ a la matriz ampliada. Si $a\neq w_k$ se verifica $\textrm{rg}A_n(a)=n=\textrm{rg}B$ siendo $n$ el número de incógnitas con lo cual el sistema es compatible y determinado. Si $a=w_k$ entonces $\det A_n(a)=0$ pero $\det A_{n-1}(a)\neq 0$ pues salvo la raíz $1$ las raíces de orden $n+1$ de la unidad son distintas de las de orden $n$ (corresponden a los vértices de un polígono regular de $n+1$ y $n$ lados respectivamente con centro el origen). Es decir, $\textrm{rg}A_n(a)=n-1$. Hallemos el rango de la matriz ampliada

$\begin{vmatrix} 1+a & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ a & 1+a & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & a & 1+a & \ldots & 0 & 0\\ \vdots&&&&&\vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1+a & 0 \\0 & 0 & 0 & \ldots & a & b\end{vmatrix}=b\det A_{n-1}(a).$

Si $b\neq 0$ el rango de $B$ es $n$ y si $b= 0$ el rango de $B$ es $n-1$. Podemos concluir:

$\left \{ \begin{matrix} { a\neq w_k}\;\;\text{ comp. determinado } \\a=w_k \;\; \left \{ \begin{matrix}  b=0 \text{ incompatible } \\b\neq 0 \text{ indeterminado.} \end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$