Primeras propiedades de los espacios vectoriales

Proporcionamos ejercicios sobre las primeras propiedades de los espacios vectoriales.

RESUMEN TEÓRICO

Definición. Sea $(E,+)$ un grupo abeliano y sea $(\mathbb{K},+,\cdot)$ un cuerpo. Supongamos que existe una operación (a la que llamamos ley externa), que asocia a cada par $(\lambda,x)\in \mathbb{K}\times E$ un elemento de $E$ al que denotamos por $\lambda x:$
$$\begin{aligned}& \mathbb{K}\times E\to E\\
&(\lambda,x)\to \lambda x
\end{aligned}$$ Se dice que $(E,+)$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo $(\mathbb{K},+,\cdot)$ con la ley externa dada }, si y sólo si $\forall \lambda,\mu \in\mathbb{K}$ y $\forall x,y\in E$ se verifica:
$$\begin{aligned}& 1.\;\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y.\\
&2.\;(\lambda+\mu )x=\lambda x+\mu x.\\
& 3.\;\lambda(\mu x)=(\lambda \mu x).\\
& 4.\;1x= x.
\end{aligned}$$
Observaciones
1. A los elementos de $ \mathbb{K} $ se les llama escalares, y a los de $E,$ vectores.
2. Abreviadamente, decimos sea $ E $ espacio vectorial sobre el cuerpo $ \mathbb{K} $, en lugar de sea $(E,+)$ espacio vectorial sobre el cuerpo $(\mathbb{K},+,\cdot)$.
3. Más abreviadamente (especialmente cuando el cuerpo $ \mathbb{K} $ se sobreentienda), diremos simplemente sea $ E $ un espacio vectorial.
4. Si $\mathbb{K}=\mathbb{R},$ decimos que $E$ es espacio vectorial real. Si $\mathbb{K}=\mathbb{C},$ decimos que $E$ es espacio vectorial complejo.

Enunciado

Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Demostrar que para todo $\lambda\in \mathbb{K}$ y para todo $x\in E:$
$(a)\; 0x=0.\quad (b)\;\lambda 0=0.\quad (c)\;\lambda x=0\Rightarrow (\lambda=0\text{ ó }x=0). $
Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Demostrar que para todo $\lambda,\mu\in \mathbb{K}$ y para todo $x,y\in E:$
$\begin{aligned}& (a)\; -(\lambda x)=(-\lambda x)=\lambda (-x).\\
&(b)\;(\lambda x=\mu x\text{ y } x\neq 0)\Rightarrow \lambda=\mu.\\
& (c)\;(\lambda x=\lambda y\text{ y } \lambda\neq 0)\Rightarrow x=y.
\end{aligned}$
Demostrar que en todo espacio vectorial $E,$ la propiedad conmutativa de la suma de vectores, se puede deducir a partir de los restantes axiomas.

Solución

$(a)$ Tenemos $0x=(0+0)x=0x+0x,$ por tanto $0x=0x+(-0x)=0.$
$(b)$ Tenemos $\lambda 0=\lambda (0+0)=\lambda 0+\lambda 0,$ por tanto $\lambda 0=\lambda 0+(-\lambda 0)=0.$
$(c)$ Si $\lambda\neq 0,$ existe el inverso $\lambda^{-1}$ en $\mathbb{K}.$ Entonces, $$\lambda x=0\Rightarrow \lambda^{-1}(\lambda x)=\lambda^{-1}0\Rightarrow(\lambda^{-1}\lambda)x=0\Rightarrow 1x=0\Rightarrow x=0.$$
$(a)$ Tenemos $$\begin{aligned}& (-\lambda)x+\lambda x=(-\lambda +\lambda)x=0x=0\Rightarrow -(\lambda x)=(-\lambda)x.\\
&\lambda (-x)+\lambda x=\lambda (-x+x)=\lambda 0=0\Rightarrow -(\lambda x)=\lambda (-x).
\end{aligned}$$ $(b)$ Se verifica $\lambda x=\mu x\Rightarrow\lambda x-\mu x=0\Rightarrow (\lambda-\mu)x=0.$ Como $x\neq 0,$ ha de ser $\lambda-\mu=0,$ es decir $\lambda=\mu.$
$(c)$ Se verifica $\lambda x=\lambda y\Rightarrow \lambda x-\lambda y=0\Rightarrow\lambda (x-y)=0.$ Como $\lambda\neq 0,$ ha de ser $x-y=0,$ es decir $x=y.$
Para todo $x,y\in E$ se verifica: $$\begin{aligned}(1+1)(x+y)&=1(x+y)+1(x+y)\\
&=x+y+x+y.\qquad (1)
\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}(1+1)(x+y)&=(1+1)x+(1+1)y\\
&=1x+1x+1y+1y\\
&=x+x+y+y.\qquad (2)
\end{aligned}$$ Igualando $(1)$ y $(2),$ queda $x+y+x+y=x+x+y+y.$ Cancelando términos, se obtiene $y+x=x+y.$