Clasificación de aplicaciones lineales

Proporcionamos ejercicios sobre clasificación de aplicaciones lineales.

Enunciado
1. Clasificar las aplicaciones lineales:
   $1)\;f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3,\;f(x_1,x_2)=(x_1+x_2,\;-x_1+2x_2,\;0).$
   $2)\;g:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2,\;g(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2+x_3,\;x_1+x_2+x_3).$
2. Demostrar que $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ dado por $$f\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3}&{-1}\\{4}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{bmatrix}$$ es isomorfismo.
3. Para todo $\lambda\in\mathbb{R}$ se considera el endomorfismo $T$ en $\mathbb{R}^3$ cuya matriz en la base canónica es$$A=\begin{bmatrix}{\lambda+2}&{2\lambda+4}&{3\lambda+6}\\{\lambda+2}&{3\lambda+6}&{3\lambda+6}\\{\lambda+2}&{3\lambda+6}&{4\lambda+5}\end{bmatrix}.$$Determinar los valores de $\lambda$ para los cuales $T$ es isomorfismo.
4. Demostrar que el endomorfismo $D$ en $\mathbb{R}[x]$ que hace corresponder a cada polinomio su derivada es epimorfismo pero no monomorfismo.
5. Sea $f:E\to F$ una aplicación lineal. Demostrar que $f$ es inyectiva $\Leftrightarrow$ $\ker f=\{0\}.$
6. Demostrar que si $f:E\to F$ es isomorfismo, también $f^{-1}:F\to E$ es isomorfismo.
7. Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K},$ $f:E\to F$ isomorfismo y $B=\{u_1,\ldots,u_n\}$ una base de $E.$ Demostrar que $B’=\{f(u_1),\ldots,f(u_n)\}$ es base de $F.$
8. Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K},$ de dimensión finita $n.$ Demostrar que $E$ es isomorfo a $\mathbb{K}^n.$
9. Sean $E$ y $F$ son espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K},$ ambos de dimensión finita y $\dim E=\dim F.$ Demostrar $E$ es isomorfo a $F.$

Solución. Ver página 2.
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