Una ecuación en diferencias finitas

Proporcionamos un ejemplo de resolución de una ecuación en diferencias finitas.

Enunciado
Resolver la ecuación en diferencias finitas

$x(m+2)+2x(m+1)+x(m)=m^2$

con la condición inicial $x(0)=1,\;x(1)=0.$

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
La ecuación característica es $\lambda^2+2\lambda+1=0$ cuya solución es $\lambda=-1$ (doble). La solución general de la ecuación en diferencias homogénea asociada es por tanto:

$x_h(m)=(-1)^mC_1+(-1)^mC_2\;,\;\;(C_1,C_2\in\mathbb{R}).$

Dado que $1$ no es solución de la ecuación característica, por un conocido teorema una solución particular de la ecuación completa es de la forma $x_p(m)=am^2+bm+c$. Obligando a que sea solución:

$a(m+2)^2+b(m+2)+c+2[a(m+1)^2+b(m+1)+c]+am^2+bm+c=m^2.$

Operando e identificando coeficientes de $m$ obtenemos el sistema

$\left \{ \begin{matrix}4a=1\\8a+4b=0\\6a+4b+4c=0\end{matrix}\right.$

cuya solución es $a=1/4,\;b=-1/2,\;c=1/8$. La solución general de la ecuación completa es

$x(m)=\dfrac{1}{8}(2m^2-4m+1)+(-1)^m(C_1+C_2m).$

Imponiendo la condición inicial $x(0)=1,\;x(1)=0:$

$\left \{ \begin{matrix}\dfrac{1}{8}+C_1=1\\\dfrac{1}{8}(-1)+(-1)(C_1+C_2)=0,\end{matrix}\right.$

lo cual implica $C_1=7/8,\;C_2=-1$. La solución al problema de valor inicial propuesto es
$$x(m)=\dfrac{2m^2-4m+1+(-1)^m(7-8m)}{8}.$$