Suma e intersección de subespacios

Proporcionamos ejercicios sobre la suma e intersección de subespacios.

Enunciado
1. Demostrar que la intersección de dos subespacios de un espacio vectorial $E,$ es también subespacio de $E.$
2. Sea $\left\{F_i:i\in I\right\}$ una familia de subespacios de un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $\bigcap _{i\in I}F_i$ es también subespacio de $E.$
3. Sean $F_1$ y $F_2,$ subespacios de un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $$F_1+F_2=\{x\in E:\exists u\in F_1\:\exists v\in F_2\text{ con }x=u+v\}$$ es subespacio de $E$ (subespacio suma de $F_1$ y $F_2$).
4. Sean $F_1,\ldots,F_m,$ subespacios de un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $$F_1+\ldots+F_m=\{x\in E:\exists u_1\in F_1\ldots \exists u_m\in F_m\text{ con }x=u_1+\ldots +u_m\}$$ es subespacio de $E$ (subespacio suma de $F_1,\ldots,F_m$)
5. Demostrar que la unión de subespacios vectoriales, no es en general subespacio vectorial.
6. Sean $F_1$ y $F_2$ subespacios vectoriales de un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $$F_1\cup F_2\text{ es subespacio de }E\Leftrightarrow F_1\subset F_2\text{ o }F_2\subset F_1.$$
7. Demostrar que la suma de dos subespacios vectoriales es el menor de todos los subespacios que contienen a la unión.
8. Sean $F_1,F_2,F_3$ subespacios de un espacio vectorial $E$ tales que: $$ F_1+F_3=F_2+F_3,\quad F_1\cap F_3=F_2\cap F_3,\quad F_1\subset F_2.$$ Demostrar que $F_1=F_2.$

Solución
1. Sean $F_1$ y $F_2,$ subespacios de $E.$ Veamos que $F_1\cap F_2$ también lo es.
   $(i)$ Como $F_1$ y $F_2$ son subespacios de $E,$ el vector $0$ pertenece a ambos, luego $0\in F_1\cap F_2.$
   $(ii)$ Si $x,y\in F_1\cap F_2,$ entonces $x\in F_1,$ $x\in F_2,$ $y\in F_1,$ e $y\in F_2.$ Por ser $F_1$ y $F_2$ subespacios, se verifica $x+y\in F_1$ y $x+y\in F_2,$ es decir $x+y\in F_1\cap F_2.$
   $(iii)$ Si $\lambda$ es escalar y $x\in F_1\cap F_2,$ entonces $x\in F_1$ y $x\in F_2.$ Por ser $F_1$ y $F_2$ subespacios, se verifica $\lambda x\in F_1$ y $\lambda x\in F_2,$ es decir $\lambda x\in F_1\cap F_2.$
2. $(i)$ Para todo $i\in I,$ $F_i$ es subespacio de $E,$ luego $0\in F_i$ para todo $i\in I.$ Esto implica que $0\in\bigcap _{i\in I}F_i.$$(ii)$ Si $x,y\in \bigcap _{i\in I}F_i,$ entonces $x\in F_i,$ e $y\in F_i,$ para todo $i\in I.$ Por ser $F_i$ subespacio para todo $i\in I,$ se verifica $x+y\in F_i$ para todo $i\in I,$ es decir $x+y\in \bigcap _{i\in I}F_i.$$(iii)$ Si $\lambda$ es escalar y $x\in \bigcap _{i\in I}F_i,$ entonces $x\in F_i$ para todo $i\in I.$ Por ser $F_i$ subespacio para todo $i\in I,$ se verifica $\lambda x\in F_i,$ para todo $i\in I,$ es decir $\lambda x\in \bigcap _{i\in I}F_i.$
3. $(i)$ El vector $0$ pertenece a $F_1$ y $F_2$ por ser estos subespacios, y además $0=0+0,$ luego $0\in F_1+F_2.$
   $(ii)$ Si $x,x’\in F_1+F_2,$ entonces $x=u+v,$ $x’=u’+v’$ con $u,u’\in F_1$ y $v,v’\in F_2.$ Entonces, $x+x’=(u+u’)+(v+v’).$ Como $F_1$ y $F_2$ son subespacios, $u+u’\in F_1$ y $v+v’\in F_2,$ por tanto $x+x’\in F_1+F_2$
   $(iii)$ Si $\lambda$ es escalar y $x\in F_1+F_2,$ entonces $x=u+v$ con $u\in F_1$ y $v\in F_2.$ Entonces, $\lambda x=\lambda u+\lambda v.$ Como $F_1$ y $F_2$ son subespacios, $\lambda u\in F_1$ y $\lambda v\in F_2,$ por tanto $\lambda x\in F_1+F_2.$
4. $(i)$ El vector $0$ pertenece a $F_1,\ldots,F_m$ por ser estos, subespacios, y además $0=0+\ldots +0,$ luego $0\in F_1+\ldots+F_m.$
   $(ii)$ Si $x,x’\in F_1+\ldots+F_m,$ entonces $x=u_1+\ldots+u_n,$ $x’=u_1’+\ldots+u’_m$ con $u_i,u’_i\in F_i$ para todo $i=1,\ldots,m.$ Se verifica:$$x+x’=(u_1+u’_1)+\ldots +(u_m+u’_m),$$ y como los $F_i$ son subespacios, $u_i+u’_i\in F_i$ para todo $i,$ por tanto $x+x’\in F_1+\ldots +F_m$
   $(iii)$ Si $\lambda$ es escalar y $x\in F_1+\ldots+F_m,$ entonces $x=u_1+\ldots +u_m$ con $u_i\in F_i$ para todo $i.$ Se verifica $\lambda x=\lambda u_1+\ldots+\lambda u_m$ y como los $F_i$ son subespacios, $\lambda u_i\in F_i$ para todo $i,$ por tanto $\lambda x\in F_1+\ldots+F_m.$
5. Elijamos los subconjuntos de $\mathbb{R}^2$ dados por $F_1=\{(\alpha,0):\alpha\in\mathbb{R}\}$ y $F_1=\{(0,\beta):\beta\in\mathbb{R}\}.$ Es inmediato comprobar que ambos son subespacios de $\mathbb{R}^2.$
   El vector $x=(1,0)$ pertenece a $F_1$ y el $y=(0,1),$ a $F_2,$ luego ambos pertenecen a $F_1\cup F_2.$ Sin embargo $x+y=(1,1)\notin F_1\cup F_2,$ es decir $F_1\cup F_2$ no es subespacio de $\mathbb{R}^2.$
6. $\Rightarrow)$ Por reducción al absurdo. Supongamos que $F_1\not\subset F_2$ y $F_2\not\subset F_1.$ Entoncs existen vectores $x,y$ tales que $x\in F_1-F_2$ e $y\in F_2-F_1.$ Como $F_1\cup F_2$ es subespacio, $x+y\in F_1\cup F_2,$ es decir $x+y\in F_1$ o $x+y\in F_2 $. Si fuera $x+y\in F_1$ entonces, $$y=\underbrace{(x+y)}_{\in F_1}-\underbrace{x}_{\in F_1}\in F_1$$ y esto contradice la elección de $y\in F_2-F_1.$ Análoga contradicción si fuera $x+y\in F_2.$
   $\Leftarrow)$ Si $F_1\subset F_2$ entonces $F_1\cup F_2=F_2$ es subespacio y si $F_2\subset F_1$ entonces $F_1\cup F_2=F_1$ es subespacio .
7. Sean $F_1,F_2$ subespacios vectoriales del espacio vectorial $E.$ Si $x\in F_1\cup F_2,$ o bien $x\in F_1,$ o bien $x\in F_2.$ Si $x\in F_1,$ entonces $x=x+0\in F_1+F_2,$ y si $x\in F_2,$ entonces $x=0+x\in F_1+F_2.$ Hemos demostrado que $F_1\cup F_2\subset F_1+F_2.$
   Vamos ahora que $F_1+F_2,$ es el menor de entre todos los subespacios de $E$ que contienen a $F_1\cup F_2.$ En efecto, sea $F$ subespacio de $E$ con $F_1\cup F_2\subset F.$
   Si $x\in F_1+F_2,$ entonces $x=u+v$ con $u\in F_1$ y $v\in F_2,$ luego $u$ y $v$ están en $F_1\cup F_2$ y por tanto en $F.$ Como $F$ es subespacio, necesariamente $x=u+v\in F.$ En consecuencia, $F_1+F_2\subset F,$ lo cual concluye la demostración.
8. Sea $u\in F_2.$ Entonces, $u\in F_2+F_3=F_1+F_3,$ luego existen $u_1\in F_1$ y $u_3\in F_3$ tales que $u=u_1+u_3.$ De la hipótesis $F_1\subset F_2,$ deducimos que $u_1\in F_2$ y al ser $u_3=u+(-u_1)$ con $u\in F_2$ y $-u_1\in F_2,$ también $u_3\in F_2.$
   Es decir, $u_3\in F_2\cap F_3=F_1\cap F_3,$ luego $u_3\in F_1.$ Tenemos por tanto que $u=u_1+u_3$ es la suma de dos vectores del subespacio $F_1,$ lo cual implica que $u\in F_1.$ Hemos demostrado que $F_2\subset F_1,$ que junto con la hipótesis $F_1\subset F_2,$ implica $F_1=F_2.$