Composición de aplicaciones lineales

Proporcionamos ejercicios sobre composición de aplicaciones lineales.

Enunciado
1. Se considera la aplicación lineal $f:\mathbb{R}_2[x]\to \mathbb{R}^2$ dada por $$f(a_0+a_1x+a_2x^2)=(a_0+2a_1,4a_0-a_2),$$ y la aplicación lineal $g:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3$ cuya matriz en las bases canónicas de $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$ es $$\begin{bmatrix}{1}&{3}\\{2}&{0}\\{-1}&{2}\end{bmatrix}.$$ Hallar la matriz de $g\circ f$ en las bases canónicas de $\mathbb{R}_2[x]$ y $\mathbb{R}^3.$
2. Demostrar que $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ dado por $$f\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3}&{-1}\\{4}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x_1}\\{x_2}\end{bmatrix}$$ es isomorfismo y determinar el isomorfismo inverso.
3. Sean $f$ y $g$ dos endomorfismos en un espacio vectorial $E.$ Demostrar que: $(1)\; \operatorname{Im}(g\circ f)\subset \operatorname{Im}g.\;\; (2)\;\ker f\subset \ker (g\circ f).$
4. Sean $E,F,G$ tres espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y sean $f:E\to F,$ $g:F\to G$ dos aplicaciones lineales. Demostrar que la composición $g\circ f:E\to G$ es aplicación lineal.
5. Sean $E,F,G$ tres espacios sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ de dimensiones finitas y sean $B_E,$ $B_F$ y $B_G$ bases de $E,$ $F$ y $G$ respectivamente. Demostrar que $$[g\circ f]_{B_E}^{B_G}=[g]_{B_F}^{B_G}\cdot [f]_{B_E}^{B_F}.$$
6. Sean $E$ y $F$ espacios vectoriales sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ de dimensiones finitas, $B_E$ y $B_F$ bases de $E$ y $F$ respectivamente, y $f:E\to F$ isomorfismo. Demostrar que $$\left[f^{-1}\right]_{B_F}^{B_E}=\left([f]_{B_E}^{B_F}\right)^{-1}.$$
7. Sea $E$ un espacio vectorial de dimensión finita $n>0$ y $f:E\to E$ un endomorfismo que cumple $\dim (\operatorname{Im}f)\geq \dim (\ker f)$ y $f^2=0.$ Demostrar que $n$ es par.
8. En el espacio vectorial $\mathbb{R}_3[x]$ de los polinomios de grado menor o igual que $3$ con coeficientes reales, se considera el subespacio $W$ formado por los polinomios de la forma $ax^3+bx^2+bx-a$ ($a$ y $b$ números reales arbitrarios).
   Construir una aplicación lineal $T:\mathbb{R}_3[x]\to \mathbb{R}_3[x]$ tal que $\operatorname{Im}T=W$ y $T\circ T=0.$ Representar $T$ mediante su matriz respecto de la base $\{1,x,x^2,x^3\}.$

Solución. Ver página 2.
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