Combinación lineal de vectores

Proponemos ejercicios sobre el concepto de combinación lineal de vectores.

Enunciado
1. En el espacio vectorial real usual $\mathbb{R}^2$ estudiar si el vector $x=(-14,8)$ es combinación lineal de los vectores $v_1=(-1,7),\;v_2=(4,2).$
2. En el espacio vectorial real usual $\mathbb{R}^{2\times 2}$ de las matrices cuadradas de orden $2$ estudiar si $A$ es combinación lineal de $B$ y $C$ siendo $$A=\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{1}&{1}\end{bmatrix}\;,\quad B=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{bmatrix}\; ,\quad C=\begin{bmatrix}{2}&{3}\\{0}&{1}\end{bmatrix}.$$
3. En el espacio vectorial real $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ de las funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ demostrar que:
   $(a)$ $\cos^2 x$ es combinación lineal de $1$ y $\cos 2x$.
   $(b)$ $(\cos (x+1))(\cos (x-1))$ es combinación lineal de $1$ y $\cos^2 x$.
4. Sea el subconjunto infinito de $\mathbb{R}[x],$ $S=\{1,x,x^2,x^3,\ldots\}.$ Demostrar que $\mathbb{R}[x]=\langle S \rangle .$
5. Sea $E$ espacio vectorial sobre $\mathbb{K}$ y $S=\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}\subset E$. Demostrar que:
   $(a)$ $L[S]$ es subespacio vectorial de $E$.
   $(b)$ $L[S]$ es el menor de todos los subespacios vectoriales de $E$ que contienen a $S$.

Solución
1. Expresemos $(-14,8)=\lambda_1(-1,7)+\lambda_2(4,2)$. Esta igualdad equivale al sistema $$\left \{ \begin{matrix} -\lambda_1+4\lambda_2=-14
   \\ 7\lambda_1+2\lambda_2=8,\end{matrix}\right.$$ y escalonando obtenemos que es compatible (en concreto, que tiene como única solución $\lambda_1=2,\lambda_2=-3$). En consecuencia $x$ es combinación lineal de los vectores $v_1,\;v_2$.
2. Expresemos: $$\begin{bmatrix}{1}&{1}\\{1}&{1}\end{bmatrix}=\lambda_1\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{bmatrix}+\lambda_2\begin{bmatrix}{2}&{3}\\{0}&{1}\end{bmatrix}.$$
   Esta igualdad equivale al sistema $$\left \{ \begin{matrix} \lambda_1+2\lambda_2=1
   \\ 3\lambda_2=1\\0=1\\2\lambda_1+\lambda_2=1,\end{matrix}\right.$$ que claramente no es compatible, en consecuencia $A$ no es combinación lineal de $B$ y $C$.
3. $(a)$ Usando conocidas fórmulas de trigonometría: $$\begin{aligned}&\cos 2x=\cos^2x-\operatorname{sen}^2x=\cos^2 x-(1-\cos^2 x)\\&=-1+2\cos^2 x\Rightarrow\cos^2 x=(1/2)\cdot 1+(1/2)\cos 2x.\end{aligned}$$ Es decir, $\cos^2 x$ es combinación lineal de $1$ y $\cos 2x$.
   $(b)$ Usando conocidas fórmulas de trigonometría $$\begin{aligned}&(\cos (x+1))(\cos (x-1))=(\cos x\cos 1-\operatorname{sen}x\operatorname{sen}1)(\cos x\cos 1+\operatorname{sen}x\operatorname{sen}1)\\&=\cos^2 x\cos^2 1-\sin^2x\sin^2 1=\cos^2 x\cos^2 1-(1-\cos^2x)\sin^2 1\\&=(-\operatorname{sen}^2 1)\cdot 1+(\cos^2 1+\sin^2 1)\cdot \cos^2 x=(-\operatorname{sen}^2 1)\cdot 1+1\cdot \cos^2 x.\end{aligned}$$ Es decir, $(\cos (x+1))(\cos (x-1))$ es combinación lineal de $1$ y $\cos^2 x$.
4. Claramente, $\langle S \rangle \subset \mathbb{R}[x]$ por ser $\mathbb{R}[x]$ espacio vectorial. Por otra parte, si $p(x)\in \mathbb{R}[x],$ entonces $p(x)$ es de la forma $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n$ con todos los $a_i\in\mathbb{R},$ o bien: $$p(x)=a_0\cdot 1+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n,$$ lo cual implica que $p(x)\in \langle S \rangle $ al ser combinación lineal de un subconjunto finito de $S.$ Concluimos que $\mathbb{R}[x]=\langle S \rangle .$
5. $(a)$ El vector $0$ se puede expresar como $0=0v_1+0v_2+\ldots +0v_m$, es decir $0\in L[S]$. Sean ahora $x,y\in L[S],$ entonces $x=\lambda_1v_1+\ldots+\lambda_mv_m\;,\;y=\mu_1v_1+\ldots+\mu_mv_m\quad (\lambda_i,\mu_i\in\mathbb{K}).$ Sumando obtenemos $$x+y=(\lambda_1+\mu_1)v_1+\ldots+(\lambda_m+\mu_m)v_m,$$ con $\lambda_i+\mu_i\in\mathbb{K},$ por tanto $x+y\in L[S].$ Por otra parte para todo $\lambda\in\mathbb{K}$ y para todo $x\in L[S],$ se verifica $\lambda x=(\lambda\lambda_1)v_1+\ldots+(\lambda\lambda_m)v_m$ con $\lambda\lambda_i\in\mathbb{K},$ en consecuencia $\lambda x\in L[S].$ Hemos demostrado pues que $L[S]$ es subespacio de $E.$
   $(b)$ Sea $F$ un subespacio vectorial de $E$ tal que $S\subset F.$ Veamos que $L[S]\subset F.$ En efecto sea $x\in L[S],$ entonces $x$ es de la forma $x=\lambda_1v_1+\ldots +\lambda_mv_m$. Pero los vectores $v_1,\ldots,v_m$ pertenecen a $F$ que por hipótesis es subespacio vectorial lo cual implica que $\lambda_1 v_1,\ldots,\lambda_m v_m$ pertenecen a $F$ y también $\lambda_1 v_1+\ldots+\lambda_m v_m.$ Es decir, $x\in F.$