Ángulo en un espacio de polinomios

Propuesto en examen de prueba numérica de Álgebra, ETS de Ingenieros Industriales de la UPM.

Enunciado
En el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y grado menor que 3 se considera el producto escalar $$\left< p,q \right>=\sum_{i=0}^3 p(i)q(i).$$ Calcular el ángulo formado por los polinomios  $x^2+1$ y $x^2-3x+1.$

Solución
Llamemos  $p(x)=x^2+1$ y  $q(x)=x^2-3x+1.$ Tenemos: $$\left<p,q\right>=p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2)=1\cdot 1+2\cdot (-1)+5\cdot (-1)=-6,$$ $$\left\|{p}\right\|=\sqrt {\left<{p,p}\right>}=\sqrt{p(0)^2+p(1)^2+p(2)^2}=\sqrt{1^2+2^2+5^2}=\sqrt{30},$$ $$\left\|{q}\right\|=\sqrt {\left<{q,q}\right>}=\sqrt{q(0)^2+q(1)^2+q(2)^2}=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{3}.$$ Si $\alpha\in [0,\pi]$ es el ángulo que forman $p$ y $q:$ $$\cos \alpha=\dfrac{\left<p,q\right>}{\left\|{p}\right\|\left\|{q}\right\|}=\dfrac{-6}{\sqrt{30}\sqrt{3}}=\dfrac{-6}{3\sqrt{10}}=\dfrac{-2}{\sqrt{10}}=-\dfrac{\sqrt{10}}{5}.$$ En consecuencia: $\alpha=\arccos \left(-\dfrac{\sqrt{10}}{5}\right),\quad \left (\alpha\in [0,\pi] \right).$