Propuesto en examen de prueba numérica de Álgebra, ETS de Ingenieros Industriales de la UPM.
Enunciado
En el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y grado menor que 3 se considera el producto escalar $$\left< p,q \right>=\sum_{i=0}^3 p(i)q(i).$$ Calcular el ángulo formado por los polinomios $x^2+1$ y $x^2-3x+1.$
Solución
Llamemos $p(x)=x^2+1$ y $q(x)=x^2-3x+1.$ Tenemos: $$\left<p,q\right>=p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2)=1\cdot 1+2\cdot (-1)+5\cdot (-1)=-6,$$ $$\left\|{p}\right\|=\sqrt {\left<{p,p}\right>}=\sqrt{p(0)^2+p(1)^2+p(2)^2}=\sqrt{1^2+2^2+5^2}=\sqrt{30},$$ $$\left\|{q}\right\|=\sqrt {\left<{q,q}\right>}=\sqrt{q(0)^2+q(1)^2+q(2)^2}=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{3}.$$ Si $\alpha\in [0,\pi]$ es el ángulo que forman $p$ y $q:$ $$\cos \alpha=\dfrac{\left<p,q\right>}{\left\|{p}\right\|\left\|{q}\right\|}=\dfrac{-6}{\sqrt{30}\sqrt{3}}=\dfrac{-6}{3\sqrt{10}}=\dfrac{-2}{\sqrt{10}}=-\dfrac{\sqrt{10}}{5}.$$ En consecuencia: $\alpha=\arccos \left(-\dfrac{\sqrt{10}}{5}\right),\quad \left (\alpha\in [0,\pi] \right).$