Espacio dual, base dual

Publicada el mayo 26, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre espacio dual y base dual.

RESUMEN TEÓRICO
  • Definición.  Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Se llama espacio dual de $E$ y se representa por $E^*,$ al espacio vectorial $\mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,\mathbb{K}).$ Es decir, $$E^*=\mathcal{L}_{\mathbb{K}}(E,\mathbb{K})=\{f:E\to\mathbb{K}\text{ con }f\text{ lineal}\}.$$ El espacio final es $\mathbb{K}$ considerado como espacio vectorial sobre sí mismo. A cada elemento de $E^*$ se le llama forma lineal.
  • Teorema.  Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K},$ de dimensión finita $n$ y $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ una base de $E.$ Entonces, $B^*=\{f_1,\ldots,f_n\}$ es base de $E^*,$ en donde $$\left \{ \begin{matrix}  f_1(e_1)=1 \\f_1(e_2)=0\\\ldots\\f_1(e_n)=0 \end{matrix}\right.\quad\left \{ \begin{matrix}  f_2(e_1)=0 \\f_2(e_2)=1\\\ldots\\f_2(e_n)=0 \end{matrix}\right.\quad \ldots \quad\left \{ \begin{matrix}  f_n(e_1)=0 \\f_n(e_2)=0\\\ldots\\f_n(e_n)=1. \end{matrix}\right.$$ Es decir, para todo $i,j$ desde $1$ hasta $n$, $f_i(e_j)=\delta_{ij}$ (deltas de Kronecker).
  • Definición.  A la base $B^*$ se la llama base dual de $B.$
    Enunciado
  1. Encontrar la base $B$ de $E=\mathbb{R}_1[x]$ cuya dual es $B^*=\{f_1,f_2\},$ siendo $$f_1[p(x)]=\int_0^1p(x)\;dx,\quad f_2[p(x)]=\int_0^2p(x)\;dx.$$
  2. Encontrar la base dual de la base de $\mathbb{R}^2,$ $B=\{(1,-2),(3,4)\}.$
  3. Usando el concepto de matriz inversa, encontrar la base dual de la base de $\mathbb{R}^3:$ $$B=\{(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)\}.$$
  4. Sea $E=\{p\in \mathbb{R}[x]:\operatorname{grado}p\leq2\}$ y $\varphi \in E^*,$ $\varphi (p)=p(1)+p(-1).$ Hallar las coordenadas de $\varphi$ en la base dual de la $B=\{5,2+3x,1-x^2\}.$
  5. Sea $E$ un espacio vectorial real, $B=\{e_1,e_2,e_3\}$ una base del mismo y $g:E\to \mathbb{R}$ la forma lineal que cumple $g(e_1+e_2)=2,$ $g(e_2-e_3)=1,$ $g(e_3-e_1)=3.$ Hallar las coordenadas de $g$ en $B^*.$
  6. Sea $\mathbb{K}$ cuerpo con característica distinta de $2.$ y de $7.$ Estudiar si las siguientes formas lineales forman una base del espacio dual de $\mathbb{K}^3$ $$\begin{aligned}&f_1(x,y,z)=2x-y+3z,\\
    & f_2(x,y,z)=3x-5y+z,\\
    &f_3(x,y,z)=4x+7y+z,\end{aligned}$$ En caso afirmativo, hallar las coordenadas de $f(x,y,z)=x+y+z$ en tal base.
  7. Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K},$ de dimensión finita $n$ y $B=\{e_1,\ldots,e_n\}$ una base de $E.$ Demostrar que $B^*=\{f_1,\ldots,f_n\}$ es base de $E^*,$ en donde $$\left \{ \begin{matrix} f_1(e_1)=1 \\f_1(e_2)=0\\\ldots\\f_1(e_n)=0 \end{matrix}\right.\quad\left \{ \begin{matrix} f_2(e_1)=0 \\f_2(e_2)=1\\\ldots\\f_2(e_n)=0 \end{matrix}\right.\quad \ldots \quad\left \{ \begin{matrix} f_n(e_1)=0 \\f_n(e_2)=0\\\ldots\\f_n(e_n)=1. \end{matrix}\right.$$
  8. Se consideran los elementos de $\left(\mathbb{R}_2[x]\right)^*:$ $$\phi_1(p)=\int_0^1p(x)\;dx,\quad \phi_2(p)=p'(1),\quad \phi_3(p)=p(0).$$ Hallar una base de $\mathbb{R}_2[x]$ cuya dual es $\{\phi_1,\phi_2,\phi_3\}.$

Solución. Ver página 2.
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