Cambio de base en el espacio dual

Proporcionamos ejercicios sobre cambio de base en el espacio dual.

Enunciado
1. En $\mathbb{R}^3$ se consideran las bases: $$\begin{aligned}&B_1=\{(1,1,0),\;(-1,0,2),\;(0,2,5)\}\\
   &B_2=\{(0,1,1),\;(1,1,1),\;(3,1,0)\}.\end{aligned}$$ Hallar la matriz de cambio de $B_1^*$ a $B_2^*.$
2. Sean $E$ un espacio vectorial de dimensión $2$, $B$ y $B’$ bases de $E,$ y $P$ la matriz de cambio de $B$ a $B’.$ Demostrar la matriz $H$ de cambio de $B^*$ a $(B’)^*$ es $H=\left(P^{-1}\right)^{T}.$

Solución
1. Hallemos la matriz de $P$ de cambio de $B_1$ a $B_2.$ Expresemos: $$\left \{ \begin{matrix} (0,1,1)=\alpha_1(1,1,0)+\alpha_2(-1,0,2)+\alpha_3(0,2,5) \\
   (1,1,1)=\beta_1(1,1,0)+\beta_2(-1,0,2)+\beta_3(0,2,5)\\
   (3,1,0)=\gamma_1(1,1,0)+\gamma_2(-1,0,2)+\gamma_3(0,2,5). \end{matrix}\right.$$
   Por tanto, $$P=\begin{bmatrix}{\alpha_1}&{\beta_1}&{\gamma_1}\\
   {\alpha_2}&{\beta_2}&{\gamma_2}\\
   {\alpha_3}&{\beta_3}&{\gamma_3}\end{bmatrix}.$$ Podríamos resolver los tres sistemas independientemente, ahora bien, estos equivalen a la igualdad: $$\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{0}\\
   {1}&{0}&{2}\\
   {0}&{2}&{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{\alpha_1}&{\beta_1}&{\gamma_1}\\
   {\alpha_2}&{\beta_2}&{\gamma_2}\\
   {\alpha_3}&{\beta_3}&{\gamma_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{3}\\
   {1}&{1}&{1}\\
   {1}&{1}&{0}\end{bmatrix}.$$ Entonces, $$P=\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{0}\\
   {1}&{0}&{2}\\
   {0}&{2}&{5}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}{0}&{1}&{3}\\
   {1}&{1}&{1}\\
   {1}&{1}&{0}\end{bmatrix}.$$ Usando conocidas propiedades de la transposición y de la inversa: $$\left(P^{-1}\right)^T=\left(\begin{bmatrix}{0}&{1}&{3}\\
   {1}&{1}&{1}\\
   {1}&{1}&{0}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}{1}&{-1}&{0}\\
   {1}&{0}&{2}\\
   {0}&{2}&{5}\end{bmatrix}\right)^T$$ $$=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{0}\\
   {-1}&{0}&{2}\\
   {0}&{2}&{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}\\
   {1}&{1}&{1}\\
   {3}&{1}&{0}\end{bmatrix}^{-1}.$$ Operando obtenemos la matriz pedida:
   $$\left(P^{-1}\right)^T=\begin{bmatrix}{2}&{-2}&{1}\\
   {-3}&{5}&{-2}\\
   {-4}&{9}&{-3}\end{bmatrix}.$$
2. Sean $B=\{u_1,u_2\},$ $B’=\{v_1,v_2\},$ $B^*=\{f_1,f_2\},$ $(B’)^*=\{g_1,g_2\}$ y $$\left \{ \begin{matrix} v_1=p_{11}u_1+p_{12}u_2 \\ v_2=p_{21}u_1+p_{22}u_2 \end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} g_1=h_{11}f_1+h_{12}f_2 \\ g_2=h_{21}f_1+h_{22}f_2, \end{matrix}\right.$$ con lo cual $$P=\begin{bmatrix}{p_{11}}&{p_{21}}\\{p_{12}}&{p_{22}}\end{bmatrix},\quad H=\begin{bmatrix}{h_{11}}&{h_{21}}\\{h_{12}}&{h_{22}}\end{bmatrix}.$$ Por definición de base dual $$\left \{ \begin{matrix} g_1(v_1)=1 \\ g_1(v_2)=0\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} g_2(v_1)=0 \\ g_2(v_2)=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left \{ \begin{matrix} (h_{11}f_1+h_{12}f_2)(p_{11}u_1+p_{12}u_2)=1 \\ (h_{11}f_1+h_{12}f_2)(p_{21}u_1+p_{22}u_2)=0,\end{matrix}\right.$$ $$\left \{ \begin{matrix} (h_{21}f_1+h_{22}f_2)(p_{11}u_1+p_{12}u_2)=0 \\ (h_{21}f_1+h_{22}f_2)(p_{21}u_1+p_{22}u_2 )=1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} h_{11}p_{11}+h_{12}p_{12}=1 \\ h_{11}p_{21}+h_{12}p_{22}=0\end{matrix}\right.\quad
   \left \{ \begin{matrix} h_{21}p_{11}+h_{22}p_{12}=0 \\ h_{21}p_{21}+h_{22}p_{22}=1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}{p_{11}}&{p_{12}}\\{p_{21}}&{p_{22}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{h_{11}}&{h_{21}}\\{h_{12}}&{h_{22}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}$$ $$\Leftrightarrow P^TH=I\Leftrightarrow H=\left(P^{T}\right)^{-1}=\left(P^{-1}\right)^{T}.$$ Nota. El método anterior es fácilmente generalizable a dimensión $n.$[