Transformado de un polinomio complejo

Enunciado
Para cada polinomio complejo $p(z)$ se define el nuevo polinomio $p^*(z)=\overline{p(-\bar{z})}$ en donde $\bar{z}$ es el conjugado de $z.$

1. Si $p(z)$ es un polinomio de grado $n\geq 1,$ expresar las raíces de $p^*(z)$ en términos de las raíces de $p(z).$
2.Sea $p(z)=1+z.$ Determinar la región del plano complejo en el que se transforma el semiplano $\mbox{Re}(z)>0$ mediante la transformación $w=\dfrac{p^*(z)}{p(z)}.$
3. Sea $p(z)$ un polinomio complejo de grado $n\geq 1$ que satisface las dos condiciones siguientes:
$\quad a)$ La imagen del semiplano $\mbox{Re}(z)>0$ bajo la transformación $w=\dfrac{p^*(z)}{p(z)}$ está contenida en el círculo unidad $\left|w\right|<1.$
$\quad b)$ $p(z)$ y $p^*(z)$ no tienen raíces comunes.
Determinar la parte real de las raíces de $p(z).$
4. Sea $p(z)$ un polinomio complejo de grado $n\geq 1$ cuyas raíces $z_1,z_2,\ldots,z_n$ satisfacen $\mbox{Re}(z_k)<0$ $(k=1,\ldots,n).$ Decidir razonadamente si la siguiente implicación es verdadera o falsa: $\mbox{Re}(z)>0\Rightarrow \left|p(z)\right|>\left|p^*(z)\right|.$

(Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
1. Sea $z_0\in \mathbb{C}$ y $w_0=-\overline{z_0}.$ Aplicando conocidas propiedades de la conjugación queda $z_0=-\overline{w_0}.$ Entonces,

$p(z_0)=0 \Leftrightarrow \overline{p(z_0)}=0 \Leftrightarrow \overline{p(-\overline{w_0})}=0\Leftrightarrow p^*(w_0)=0.$

Es decir, $z_0$ es raíz de $p$ si y sólo si $-\overline{z_0}$ es raíz de $p^*.$

2. Hallemos la expresión de $w:$

$w=\dfrac{p^*(z)}{p(z)}=\dfrac{\overline{ 1+(-\bar{z}) }}{1+z}=\dfrac{1+\overline{ -\bar{z} }}{1+z}=\dfrac{1-z}{1+z}.\qquad (1)$

El módulo de $w$ es:

$|w|=w\bar{w}=\dfrac{1-z}{1+z}\dfrac{1-\bar{z}}{1+\bar{z}}=\dfrac{1-z-\bar{z}+z\bar{z}}{1+z+\bar{z}+z\bar{z}}=\dfrac{1-2\mbox{Re}(z)+|z|^2}{1+2\mbox{Re}(z)+|z|^2}<1.$

Es decir, $w$ pertenece al disco abierto unidad $D.$ Veamos ahora que todo $w\in D$ es el transformado de algún $z$ con parte real mayor que $0.$ Efectivamente, sea $w$ tal que $|w|<1.$ Despejando en $(1)$ obtenemos $z=(1-w)/(1+w).$ Entonces:

$2\mbox{Re}(z)=z+\bar{z}=\dfrac{1-w}{1+w}+\dfrac{1-\bar{w}}{1+\bar{w}}=\dfrac{2(1-|w|^2)}{1+2\mbox{Re}(w)+|w|^2}.$

Dado que $|w|<1,$ el numerador es positivo. Veamos que también lo es el denominador. Efectivamente, si $w=u+iv:$

$1+2\mbox{Re}(w)+|w|^2=1+2u+u^2+v^2=(u+1)^2+v^2>0\;\;(\mbox{si } w\neq -1).$

Por tanto, si $|w|<1$ entonces $\mbox{Re}(z)>0.$ Concluimos que la región transformada de $\mbox{Re}(z)>0$ es $|w|<1.$

3. Si $z_0$ es raíz de $p(z),$ entonces por b) ocurre $p(z_0)=0$ y $p^*(z_0)\neq 0.$ Veamos que no puede ocurrir $\mbox{Re}(z_0)>0.$ En efecto, si fuera así entonces la función $\left|w\right|=\left|p^*(z)/p(z)\right|$ no estaría acotada (en contradicción con la hipótesis $|w|<1).$ Ha de ser por tanto $\mbox{Re}(z_0)\leq 0.$ Ahora bien, si $z_0$ es raíz de $p(z),$ entonces $z_0\neq -\overline{z_0}$ (apartado 1)). Esto equivale a $2\mbox{Re}(z_0)=z_0+\overline{z_0}\neq 0.$ Ha de ser pues $\mbox{Re}(z_0)<0.$

4. Si $p(z)=a_nz^n+\ldots+a_0,$ por el apartado 1) las raíces de $p^*(x)$ son $-\overline{z_k}$ con $k=1,\ldots,n.$ Podemos por tanto expresar:

$p(z)=a_n\displaystyle\prod_{k=1}^{k=n}(z-z_k)\;,\; p^*(z)=(-1)^n\overline{a_n}\prod_{k=1}^{k=n}(z+\overline{z_k}).\qquad (2)$

Si $z=x+iy$ y $z_k=x_k+iy_k.$ se verifica:

$\left|z-z_k\right|^2=(x-x_k)^2+(y-y_k)^2\;,\;\left|z+\overline{z_k}\right|^2=(x+x_k)^2+(y-y_k)^2.$

Entonces,

$\left|z+\overline{z_k}\right|^2<\left|z-z_k\right|^2\Leftrightarrow (x+x_k)^2<(x-x_k)^2\Leftrightarrow 2xx_k<-2xx_k\Leftrightarrow 4xx_k<0.$

Por hipótesis $x<0$ y $x_k<0$ para todo $k=1,\ldots,n$ lo cual implica que la última desigualdad es cierta. Se verifica por tanto $\left|z+\overline{z_k}\right|<\left|z-z_k\right|$ $(k=1,\ldots,n).$ Tomando módulos en $(2)$ deducimos $\left|p(z)\right|>\left|p^*(z)\right|,$ es decir la implicación propuesta es verdadera.