Una integral trigonométrica en $[0,\pi]$

Enunciado
Se considera la función compleja definida por

$f(z)=\displaystyle\sum_{k=-n}^{+n}c_kz^k.$

1. Obtener la expresión de la integral $\displaystyle\int_0^{2\pi}\left|f\left(e^{i\theta}\right)\right|^2\;d\theta$ en términos de los coeficientes $c_k$ de la función $f.$

2. Aplicar el resultado anterior al cálculo de las integrales

$\displaystyle\int_0^{\pi}\left(\dfrac{\sin 2n\theta}{\sin \theta}\right)^2d\theta\quad (n=1,2,\ldots).$

(Propuesto en examen, Amp. Calc., ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
1. Desarrollando $|f(e^{i\theta})|^2:$

$\left|f\left(e^{i\theta}\right)\right|^2=f\left(e^{i\theta}\right)\overline{f\left(e^{i\theta}\right)}=\left(\displaystyle\sum_{k=-n}^{+n}c_ke^{ik\theta}\right)\left(\displaystyle\sum_{l=-n}^{+n}\bar{c}_ke^{-il\theta}\right)=
\displaystyle\sum_{k=-n}^{+n}\left|c_k\right|^2+\displaystyle\sum_{k\neq l}c_k\bar{c}_le^{i(k-l)\theta}.$

Por otra parte

$\displaystyle\int_0^{2\pi}e^{i(k-l)\theta}\;d\theta=\left[\dfrac{e^{i(k-l)\theta}}{i(k-l)}\right]_0^{2\pi}=\dfrac{1}{i(k-l)}(e^{2(k-l)\pi}-e^0)=0.$

En consecuencia

$\displaystyle\int_0^{2\pi}\left|f\left(e^{i\theta}\right)\right|^2\;d\theta=\displaystyle\int_0^{2\pi}\displaystyle\sum_{k=-n}^{+n}\left|c_k\right|^2\;d\theta=2\pi\displaystyle\sum_{k=-n}^{+n}\left|c_k\right|^2.$

2. Como la función integrando es par y periódica de periodo $2\pi$, podemos escribir

$\displaystyle\int_0^{\pi}\left(\dfrac{\sin 2n\theta}{\sin \theta}\right)^2d\theta=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\left(\dfrac{\sin 2n\theta}{\sin \theta}\right)^2d\theta=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left(\dfrac{\sin 2n\theta}{\sin \theta}\right)^2d\theta.$

Vamos a transformar la función integrando:

$\dfrac{\sin 2n\theta}{\sin \theta}=\dfrac{ \frac{1}{2i}(e^{2ni\theta} -e^{-2in \theta}) }{ \frac{1}{2i}(e^{i\theta} -e^{-i \theta}) }=\dfrac{e^{4ni\theta}-1}{ e^{(2n+1)i\theta}-e^{(2n-1)i\theta}}=\dfrac{e^{4ni\theta}-1}{ e^{(2n-1)i\theta}(e^{2i\theta}-1) }.$

Consideremos ahora la función

$f(z)=\dfrac{z^{4n}-1}{z^{2n-1}(z^2-1)}=\dfrac{1}{z^{2n-1}}\;\dfrac{(z^2)^{2n}-1}{z^2-1}.$

Dado que $y^{2n}-1=(y-1)(y^{2n-1}+y^{2n-2}+\ldots+y+1)$, llamando $y=z^2:$

$f(z)=\dfrac{1}{z^{2n-1}}\;\left((z^2)^{2n-1}+(z^2)^{2n-2}+\ldots+z^2+1\right)$ $=
\dfrac{1}{z^{2n-1}}\;\left(z^{4n-2}+z^{4n-4}+\ldots+z^2+1\right)$ $=
z^{2n-1}+z^{2n-3}+\ldots +z^{-2n+3}+z^{-2n+1}=\displaystyle\sum_{n=-(2n-1)}^{2n-1}c_kz^k.$

en donde los coeficientes $c_k$ son o bien $1$, o bien $0.$ Entonces

$\displaystyle\int_0^{\pi}\left(\dfrac{\sin 2n\theta}{\sin \theta}\right)^2d\theta=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left(\dfrac{\sin 2n\theta}{\sin \theta}\right)^2d\theta=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{2\pi}|f(e^{i\theta})|^2\;d\theta.$

Usando el apartado 1 obtenemos

$\displaystyle\int_0^{\pi}\left(\dfrac{\sin 2n\theta}{\sin \theta}\right)^2d\theta=\dfrac{1}{2}\cdot 2\pi\displaystyle\sum_{k=-(2n-1)}^{2n-1}\left|c_k\right|^2=2\pi n,$

pues existen $2n$ coeficientes entre los $c_k$ que valen $1$ y el resto son nulos.