Subespacio conjugado o anulador

Proporcionamos ejercicios sobre el subespacio conjugado o anulador.

Enunciado
1. En $\mathbb{R}^4$ y respecto de una base $B$ se considera el subespacio de ecuaciones cartesianas: $$F:\left \{ \begin{matrix} x_1-x_2+x_3-2x_4=0\\2x_1-x_2+2x_3=0\\
   x_1+x_2-x_3+3x_4=0 \end{matrix}\right.$$ Hallar unas ecuaciones cartesianas del subespacio conjugado o anulador $F^0,$ en la base $B^*.$
2. Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ y $F$ subespacio de $E.$ Demostrar que $F^0=\{f\in E^*:f(x)=0\:\forall x\in F\}$ es subespacio de $E^*.$
3. Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K},$ $F$ subespacio de $E$ y $B_F=\{u_1,\ldots, u_r\}$ base de $F.$ Demostrar que $f\in F^0$ $\Leftrightarrow$ $f(u_1)=\ldots=f(u_r)=0.$

Solución
1. Llamemos $B=\{e_1,e_2,e_3,e_4\},$ $B^*=\{f_1,f_2,f_3,f_4\}.$ Usando el conocido método para hallar una base de un subespacio dado por unas ecuaciones cartesianas, obtenemos la base de $F:$ $B_F=\{(1,8,3,-2)\}$ (en coordenadas en $B$), es decir: $$B_F=\{e_1+8e_2+3e_3-2e_4\}.$$ Todo vector $f$ del dual de $\mathbb{R}^4$ es de la forma $f=x_1^*f_1+x_2^*f_2+x_3^*f_3+x_4^*f_4$ con $x_i^*\in\mathbb{R}.$ Entonces, $$f\in F^0\Leftrightarrow f(e_1+8e_2+3e_3-2e_4)=0$$ $$\Leftrightarrow (x_1^*f_1+x_2^*f_2+x_3^*f_3+x_4^*f_4)(e_1+8e_2+3e_3-2e_4)=0$$ $$\Leftrightarrow x_1^*+8x_2^*+3x_3^*-2x_4^*=0.$$ Unas ecuaciones pedidas son por tanto
   $$F^0: x_1^*+8x_2^*+3x_3^*-2x_4^*=0.$$
2. La forma lineal nula $0:E\to\mathbb{K}$ satisface $0(x)=0$ para todo $x\in F,$ por tanto pertenece a $F^0.$ Para todo $f,g\in F^0$ y para todo $x\in F:$ $$(f+g)(x)=f(x)+f(x)=0+0=0,$$ luego $f+g\in F^0.$ Por último, para todo $\lambda\in \mathbb{K},$ para todo $f\in F^0$ y para todo $x\in F:$ $$(\lambda f)(x)=\lambda f(x)=\lambda 0=0,$$ es decir $\lambda f\in F^0.$ Concluimos que $F^0$ es subespacio de $E^*.$
3. $\Rightarrow)$ Si $f\in F^0,$ $f(x)=0$ para todo $x\in F,$ en particular $f(u_1)=\ldots=f(u_r)=0$ pues $\{u_1,\ldots, u_r\}\subset F.$
   $\Leftarrow)$ Supongamos que $f\in E^*$ satisface $f(u_1)=\ldots=f(u_r)=0$ y sea $x\in F.$ Como $B_F$ es base de $F,$ $x=\lambda_1u_1+\ldots+\lambda_ru_r$ para ciertos escalares $\lambda_i.$ Entonces, usando la linealidad de $f:$ $$f(x)=f(\lambda_1u_1+\ldots+\lambda_ru_r)=\lambda_1f(u_1)+\ldots+\lambda_rf(u_r)$$ $$=\lambda_10+\ldots+\lambda_r0=0,$$ lo cual implica que $f\in F^0.$