Forma de Jordan asociada a una ecuación diferencial

Relacionamos una ecuación diferencial con la forma de Jordan de un sistema.

Enunciado

1. Escribir la solución general de la ecuación diferencial

   $x^{(6)}-6x^{(4)}+12x^{\prime\prime}-8x=0.$

2. Escribir justificadamente la forma de Jordan $J$ de la matriz

   $A=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{\;0}&0 & 0 & 0 \\{0}&{0}&{\;1}& 0 & 0 & 0\\{0}&{0}&{\;0}& 1 & 0 & 0\\{0}&{0}&{\;0}& 0 & 1 & 0\\{0}&{0}&{\;0}& 0 & 0 & 1\\{8}&{0}&{-12}& 0 & 6 & 0\end{bmatrix}\;.$

   (Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
1. La ecuación característica asociada es $$\lambda^6-6\lambda^4+12\lambda^2-8=0.\qquad (1)$$

   Efectuando la sustitución $\mu=\lambda^2$ obtenemos la ecuación $\mu^3-6\mu^2+12\mu-8=0,$ una de cuyas soluciones es $\mu=2.$ Usando la regla de Ruffini obtenemos

   $\mu^3-6\mu^2+12\mu-8=(\mu-2)(\mu^2-4\mu+4)=(\mu-2)^3.$

   Las soluciones de la ecuación $(1)$ son por tanto $\lambda_1=\sqrt{2}$ y $\lambda_2=-\sqrt{2},$ ambas triples. Usando un conocido teorema, una base del espacio vectorial de las soluciones es

   $B=\{e^{\sqrt{2}t},\;te^{\sqrt{2}t},\;t^2e^{\sqrt{2}t},\;e^{-\sqrt{2}t},\;te^{-\sqrt{2}t},\;t^2e^{-\sqrt{2}t}\}.$

   La solución general es por tanto

   $x(t)=(C_1+C_2t+C_3t^2)e^{\sqrt{2}t}+(C_4+C_5t+C_6t^2)e^{-\sqrt{2}t}.$

2. Transformemos en la forma habitual la ecuación dada en un sistema:

   $y_1=x,\,y_2=x’,\;y_3=x^{\prime\prime},\;y_4=x^{(3)},\;y_5=x^{(4)},\;y_6=x^{(5)}.$

   Derivando obtenemos:

   $\begin{aligned}y’_1&=x’=y_2\\
   y’_2&=x^{\prime\prime}=y_3\\
   y’_3&=x^{(3)}=y_4\\
   \end{aligned} \qquad \begin{aligned}y’_4&=x^{(4)}=y_5\\
   y’_5&=x{(5)}=y_6\\
   y’_6&=x^{(6)}=8y_1-12y_3+6y_5.
   \end{aligned}$

   Un sistema equivalente a la ecuación dada es

   $\begin{bmatrix}{y’_1}\\{y’_2}\\{y’_3}\\y’_4\\y’_5\\y’_6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{\;0}&0 & 0 & 0 \\{0}&{0}&{\;1}& 0 & 0 & 0\\{0}&{0}&{\;0}& 1 & 0 & 0\\{0}&{0}&{\;0}& 0 & 1 & 0\\{0}&{0}&{\;0}& 0 & 0 & 1\\{8}&{0}&{-12}& 0 & 6 & 0\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{y_1}\\{y_2}\\{y_3}\\y_4\\y_5\\y_6\end{bmatrix}\;.$

   La base del espacio de las soluciones de para $x=y_1$ proporciona la forma de Jordan que necesariamente ha de tener $A:$

   $J=\begin{bmatrix}{\sqrt{2}}&{1}&{0}& & & \\{0}&{\sqrt{2}}&{1}& & & \\{0}&{0}&{\sqrt{2}}& & & \\{}&{}&{}& -\sqrt{2} &\;\; 1 & \;\;0\\{}&{}&{}& \;\;0 & -\sqrt{2} & \;\;1\\{}&{}&{}& \;\;0 &\;\; 0 & -\sqrt{2}\end{bmatrix}.$