Convergencia y divergencia de series numéricas

Proporcionamos ejercicios sobre la convergencia y divergencia de series numéricas.

Enunciado
1. Aplicar a las siguientes series el teorema de la condición necesaria de convergencia
   $a)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{3n+5}{7n+2}.\;$ $b)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n}.\;$ $c)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{3^n}.\;$ $d)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}5.\;$ $e)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cos n.$
2. Demostrar el teorema de la condición necesaria para la convergencia de una serie, es decir si $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es convergente, entonces $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=0.$
3. Sea $p>0$ un entero. Demostrar que la serie $u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots$ es convergente si, y sólo si la serie $u_{p+1}+u_{p+2}+\cdots +u_{n+p}+\cdots$ es convergente.
4. Calcular la suma de una serie cuyas sumas parciales son $$S_n=\dfrac{4n^3-3n^2+6}{3n^3+6n+2}.$$
5. Demostrar que la suma de una serie convergente y una divergente, es divergente.
6. Hallar la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\log\cos \frac{1}{2^n}.$
   Sugerencia. Usar la fórmula $\operatorname{sen}2a=2\operatorname{sen}a\cos a.$
7. Calcular $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$ usando la definición de suma de una serie.

Solución
1. $a)$ $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{3n+5}{7n+2}=\frac{3}{7}\ne 0,$ por tanto la serie es divergente.
   $b)$ $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n}=0,$ por tanto no podemos deducir del teorema de la condición necesaria de convergencia el carácter de la serie.
   $c)$ $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{3^n}=0,$ por tanto no podemos deducir del teorema de la condición necesaria de convergencia el carácter de la serie.
   $d)$ $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}5\ne 0,$ por tanto la serie es divergente.
   $e)$ No existe $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\cos n,$ por tanto la serie es divergente.
2. Por hipótesis existe $S=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}S_n$ y dicho límite es finito. Por otra parte. $u_n=S_n-S_{n-1}$ para todo $n\geq 2,$ por tanto: $$\lim_{n\to +\infty}u_n=\lim_{n\to +\infty}\left(S_n-S_{n-1}\right)=\lim_{n\to +\infty}S_n-\lim_{n\to +\infty}S_{n-1}=S-S=0.$$
3. Si llamamos $S_1,$ $S_2,$ … a las sumas parciales de la primera serie y $S’_1,$ $S’_2,$ … a las de la segunda se tiene $$S’_n=S_{n+p}-S_p,$$ luego para que $S_n$ tenga límite finito cuando $n\to +\infty,$ es necesario y suficiente que $S’_n$ tenga límite finito cuando $n\to +\infty.$
4. Por definición de suma de una serie: $$S=\lim_{n\to +\infty}S_n=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{4n^3-3n^2+6}{3n^3+6n+2}=\frac{4}{3}.$$
5. Supongamos que $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es convergente de suma $U$ y $\sum_{n=1}^{+\infty}u’_n$ es divergente. Sean $S_n$ y $S’_n$ las respectivas sumas parciales enésimas. La sumas parciales enésimas de la serie suma $\sum_{n=1}^{+\infty}(u_n+u’_n)$ son $S_n+S’_n.$ Si la serie suma fuera convergente con suma $W,$ tendríamos: $$\lim_{n\to +\infty}S’_n=\lim_{n\to +\infty}\left((S_n+S’_n)-S_n\right)=\lim_{n\to +\infty}\left(S_n+S’_n\right)-\lim_{n\to +\infty}S_n=W-U,$$ lo cual implicaría que la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}u’_n$ es convergente (contradicción).
6. Se verifica$$\log\operatorname{sen}2a=\log (2\operatorname{sen}a\cos a)=\log 2+\log \operatorname{sen}a+\log\cos a.\quad (*)$$Haciendo $a=1/2,$ $1/2^2,$ … , $1/2^n$ y usando $(*),$ obtenemos los $n$ primeros términos de la serie:$$u_1=\log\cos \frac{1}{2}=\log \operatorname{sen}1-\log \operatorname{sen}\frac{1}{2}-\log 2,$$$$u_2=\log\cos \frac{1}{2^2}=\log \operatorname{sen}\frac{1}{2}-\log \operatorname{sen}\frac{1}{2^2}-\log 2,$$$$…$$$$u_n=\log\cos \frac{1}{2^n}=\log \operatorname{sen}\frac{1}{2^{n-1}}-\log \operatorname{sen}\frac{1}{2^n}-\log 2.$$La suma parcial enésima es por tanto$$S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n=\log \operatorname{sen}1-\log \operatorname{sen}\frac{1}{2^n}-n\log 2,$$y su suma$$S=\lim_{n\to +\infty}S_n=\lim_{n\to +\infty}\log \frac{\operatorname{sen}1}{2^n\operatorname{sen}(1/2^n)}.$$Usando $\operatorname{sen}(1/2^n)\sim 1/2^n$ para $n\to +\infty:$$$S=\lim_{n\to +\infty}\log \frac{\operatorname{sen}1}{2^n(1/2^n)}=\log\operatorname{sen}1.$$
7. Hallemos las sumas parciales enésimas. $$S_1=\frac{3}{4},$$ $$S_2=\frac{3}{4}+\frac{5}{36}=\frac{8}{9},$$ $$S_3=\frac{8}{9}+\frac{7}{144}=\frac{15}{16}.$$ Estas sumas las podemos escribir en la forma $$S_1=\frac{1(1+2)}{(1+1)^2},\;S_2=\frac{2(2+2)}{(2+1)^2},\;S_3=\frac{3(3+2)}{(3+1)^2},$$ lo cual sugiere la fórmula $S_n=\dfrac{n(n+2)}{(n+1)^2}.$ Vamos a demostrarla por inducción. Supongamos que es cierta para $n,$ entonces$$S_{n+1}=S_n+u_{n+1}=\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}+\frac{2n+3}{(n+1)^2(n+2)^2}$$$$=\frac{n(n+2)^3+2n+3}{(n+1)^2(n+2)^2}=\frac{n^4+6n^3+12n^2+10n+3}{(n+1)^2(n+2)^2}.$$El numerador es igual a $P(n)$ con $P(x)=x^4+6x^3+12x^2+10x+3\in\mathbb{R}[x].$ Este polinomio se anula para $x=-1,$ y usando el algoritmo de Ruffini:$$P(x)=(x+1)(x^3+5x^2+7x+3).$$El polinomio de la derecha también se anula para $x=-1.$ Usando de nuevo el algoritmo de Ruffini:$$P(x)=(x+1)^2(x^2+4x+3)=(x+1)^3(x+3),$$por tanto $S_{n+1}$ es$$S_{n+1}=\frac{P(n)}{(n+1)^2(n+2)^2}=\frac{(n+1)^3(n+3)}{(n+1)^2(n+2)^2}=\frac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2},$$lo cual implica que la fórmula es cierta para $n+1.$ La suma de la serie es por tanto$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\lim_{n\to +\infty}S_n=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{n(n+2)}{(n+1)^2}=1.$$