Álgebra de series

Demostramos el teorema del álgebra de series y damos un ejemplo de aplicación.

Enunciado
1. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\dfrac{5}{2^n}-\dfrac{3}{4^n}\right).$
2. Demostrar el teorema del álgebra de series: supongamos que las series $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ y $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ son convergentes de sumas respectivas $U$ y $V.$ Entonces,
   $a)$ La serie suma $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(u_n+v_n)$ es convergente con suma $U+V.$
   $b)$ Para todo $\lambda\in\mathbb{R},$ la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda u_n$ es convergente con suma $\lambda U.$

Solución
1. Usando el teorema del álgebra de series y la fórmula de la suma de las series geométricas convergentes: $$\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\dfrac{5}{2^n}-\dfrac{3}{4^n}\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{5}{2^n}+\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}-\dfrac{3}{4^n}$$ $$=5\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{2^n}-3\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{4^n}=\dfrac{5}{1-1/2}-\dfrac{3}{1-1/4}=6.$$
2. $a)$ Sean $U_n$ y $V_n$ las sumas parciales enésimas de las series dadas, respectivamente. Entonces la suma parcial enésima de la serie suma es $U_n+V_n.$ Tenemos $$\lim_{n\to+\infty}(U_n+V_n)=\lim_{n\to+\infty}U_n+\lim_{n\to+\infty}V_n=U+V,$$ es decir la serie suma es convergente con suma $U+V.$
   $b)$ La suma parcial enésima de la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda u_n$ es $\lambda U_n.$ Tenemos $$\lim_{n\to+\infty}\lambda U_n=\lambda\lim_{n\to+\infty}U_n=\lambda U,$$ es decir la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda u_n$ es convergente con suma $\lambda U.$