Endomorfismo, forma cuadrática y cono

En este problema relacionamos los conceptos de endomorfismo, forma cuadrática y cono.

Enunciado
En $\mathbb{R}^3$ con el producto escalar usual $\left<{\;,\;}\right>$ y siendo $B=\{e_1,e_2,e_3\}$ la base canónica, se considera el endomorfismo $T$ y la forma cuadrática $f$ que cumplen las condiciones:

i) $\forall{x}\forall{y}\in \mathbb{R}^3\quad \left<{T(x),y}\right>=\left<{x,T(y)}\right>.$
ii) $T(e_1)\in L[e_1-e_3].$
iii) $T(e_2)\in L[e_2+2e_3].$
iv) $T(e_3)=-9e_1+8e_2-11e_3.$
v) $\forall{x}\in \mathbb{R}^3\quad f(x)=\left<{T(x),x}\right>.$

1. Hallar la matriz de $T$ respecto a $B.$ Estudiar si es un isomorfismo. Estudiar si es un isomorfismo isométrico.
2. Estudiar si $T$ es diagonalizable. Hallar la suma, el producto y los signos de los valores propios.
3. Obtener la matriz de $f$ respecto a $B,$ y una expresión polinómica de $f(x_1,x_2,x_3).$ Reducir esta expresión a suma de cuadrados.
4. Estudiar que figura geométrica es la curva $C$ de ecuaciones $x_3=1,\;f(x_1,x_2,1)=0.$ Hallar una ecuación no paramétrica, respecto de $B$ del cono de vértice $(0,0,0)$ y directriz $C.$

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
1. De $T(e_1)\in L[e_1-e_3]$ deducimos que $T(e_1)=\lambda e_1-\lambda e_3,$ y de $T(e_2)\in L[e_2+2e_3]$ que $T(e_2)=\mu e_2+2\mu e_3.$ Si $A$ es la matriz pedida:

$\left \{ \begin{matrix}T(e_1)=\lambda e_1-\lambda e_3\\T(e_2)=\mu e_2+2\mu e_3 \\ T(e_3)=-9e_1+8e_2-11e_3 \end{matrix}\right.\Rightarrow A=\begin{bmatrix}{\;\;\lambda}&{0}&{-9}\\{\;\;0}&{\mu}&{\;\;8}\\{-\lambda}&{2\mu}&{-11}\end{bmatrix}\;.$

La condición i) indica que $T$ es un endomorfismo simétrico. Como la base canónica $B$ es ortonormal con respecto del producto escalar usual, la matriz $A$ es simétrica. Es decir, $\lambda=-9$ y $\mu=4.$ En consecuencia:

$A=\begin{bmatrix}{\;\;9}&{0}&{-9}\\{\;\;0}&{4}&{\;\;8}\\{-9}&{8}&{-11}\end{bmatrix}\;.$

Se verifica $\det A=-1296\neq 0$ lo cual implica que $T$ es isomorfismo. Dado que la base canónica es ortonormal con el producto escalar usual, $T$ será isomorfismo isométrico si y sólo si $A$ es ortogonal, y claramente no lo es.

2. La matriz real $A$ es simétrica, y por tanto diagonalizable en $\mathbb{R}$ (teorema espectral). Como consecuencia, $T$ lo es. Sea $D=\mbox{diag }(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ (con $\lambda_i$ valores propios de $A$) una matriz semejante con $A.$ Teniendo en cuenta que matrices semejantes tienen la misma traza y el mismo determinante:

$\lambda_1\lambda_2\lambda_3=\det D=\det A=-1296,$
$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=\mbox{tr}D=\mbox{tr}A=2.$

De las igualdades anteriores se deduce inmediatamente que un valor propio es negativo y los dos restantes positivos.

3. Llamando $x=(x_1,x_2,x_3)^t$ se verifica

$f(x)=\left<{T(x),x}\right>=\left<{Ax,x}\right>=(Ax)^tx=x^tA^tx=x^tAx.$

En consecuencia, la matriz de $f$ en la base $B$ es $A.$ Además:

$\displaystyle\begin{aligned}
f(x_1,x_2,x_3)&=(x_1,x_2,x_3)\begin{pmatrix}{\;\;9}&{0}&{-9}\\{\;\;0}&{4}&{\;\;8}\\{-9}&{8}&{-11}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}\\
&=9x_1^2+4x_2^2-11x_3^2-18x_1x_3+16x_2x_3.
\end{aligned}$

Descompongamos ahora $f(x_1,x_2,x_3)$ en suma de cuadrados independientes usando el método de Gauss:

$\displaystyle\begin{aligned}
f(x_1,x_2,x_3)&=9(x_1^2-2x_1x_3)+4x_2^2-11x_3^2+16x_2x_3\\
&=9(x_1-x_3)^2-9x_3^2+4x_2^2-11x_3^2+16x_2x_3\\
&=9(x_1-x_3)^2+(4x_2^2-20x_3^2+16x_2x_3).
\end{aligned}$

$\displaystyle\begin{aligned}
4x_2^2-20x_3^2+16x_2x_3&=4(x_2^2+4x_2x_3)-20x_3^2\\
&=4(x_2+2x_3)^2-16x_3^2-20x_3^2\\
&=4(x_2+2x_3)^2-36x_3^2.
\end{aligned}$

Queda por tanto

$f(x_1,x_2,x_3)=9(x_1-x_3)^2+4(x_2+2x_3)^2-36x_3^2.$

4. Tenemos $f(x_1,x_2,1)=9(x_1-1)^2+4(x_2+2)^2-36,$ por tanto la curva $C$ tiene por ecuaciones:

$C\equiv \left \{ \begin{matrix}\dfrac{(x_1-1)^2}{4}+\dfrac{(x_2+2)^2}{9}=1\\x_3=1.\end{matrix}\right.$

En consecuencia es una elipse contenida en el plano $x_3=1,$ de centro $(1,-2,0)$ y semiejes $a=2,b=3.$ Hallemos la ecuación del cono. La rectas que pasan por el origen y que no son paralelas al plano $x_3=1$ son de la forma $X_1/\lambda=X_2/\mu=X_3/1$ o equivalentemente de la forma $X_1=\lambda X_3,\;X_2=\mu X_3.$ Obligando a que corten a la directriz:

$\left \{ \begin{matrix}\dfrac{(\lambda X_3-1)^2}{4}+\dfrac{(\mu X_3+2)^2}{9}=1\\X_3=1.\end{matrix}\right.$

Eliminando $X_3$ de las dos igualdades anteriores obtenemos $9(\lambda-1)^2+4(\mu+2)^2=36.$ Esta última relación proporciona la condición que han de cumplir las rectas $X_1=\lambda X_3,\;X_2=\mu X_3$ para que pertenezcan al cono. Sustituyendo en esta relación $\lambda$ por $X_1/X_2$ y $\mu$ por $X_2/X_3,$ obtenemos la ecuación del cono:

$$9(X_1-X_3)^2+4(X_1+2X_3)^2-36X_3^2=0.$$