- Estudiar la continuidad de $f$ en $\mathbb{R}^2.$
- Probar que el conjunto de los puntos de discontinuidad de $f$ es compacto.
(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. Industriales, UNED).
Enunciado
Se considera la función $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ $$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{x}{4x^2+y^2-1} & \mbox{ si }& 4x^2+y^2\neq 1\;\wedge\;(x,y)\neq (0,0)\\1 & \mbox{si}& 4x^2+y^2=1\;\vee\;(x,y)=(0,0).\end{matrix}\right.$$
Se considera la función $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ $$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{x}{4x^2+y^2-1} & \mbox{ si }& 4x^2+y^2\neq 1\;\wedge\;(x,y)\neq (0,0)\\1 & \mbox{si}& 4x^2+y^2=1\;\vee\;(x,y)=(0,0).\end{matrix}\right.$$
- Analizaremos tres casos.
Primer caso: $(x_0,y_0)$ cumple $4x_0^2+y_0^2\neq 1$ y $(x_0,y_0)\neq (0,0).$ La ecuación $4x+y^2=1$ o bien $x^2/(1/2)^2+y^2/1^2=1$ representa una elipse con centro el origen, ejes los de coordenadas y semiejes $a=1/2,\;b=1.$ Si $(x_0,y_0)$ no es el origen ni pertenece a la elipse, existe un abierto $U$ que contiene al punto $(x_0,y_0)$ en el que la función $f$ es $$f:U\to \mathbb{R}\;,\quad f(x,y)=\dfrac{x}{4x^2+y^2-1}.$$ La función está definida en $U,$ y por el teorema de continuidad de las funciones elementales, deducimos que $f$ es continua en $(x_0,y_0).$
Segundo caso: $(x_0,y_0)=(0,0).$ En cualquier entorno que contiene a $(0,0)$ la función no es elemental. Veamos si es continua en este punto usando la definición.$\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)=\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)}\dfrac{x}{4x^2+y^2-1}=\dfrac{0}{-1}=0\neq 1=f(0,0).$
La función no es continua en $(0,0).$
Tercer caso: $(x_0,y_0)$ cumple $4x_0^2+y_0^2=1.$ En un abierto $V$ que contiene a $(x_0,y_0)$ la función en los puntos que no están en la elipse es $f(x,y)=x/(4x^2+y^2-1).$ Tomando la dirección $y-y_0=x-x_0$ tenemos $$\displaystyle\lim_{x \to x_0}\dfrac{x}{4x^2+(y_0+x-x_0)^2-1}=\dfrac{x_0}{4x_0^2+y_0^2-1}=\dfrac{x_0}{0}=\infty\;(\mbox{ pues }x_0\neq 0).$$ No existe límite según una dirección, en consecuencia no existe $\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)$ y por tanto $f$ no es continua en $(x_0,y_0).$ - Según el apartado anterior, la función no es continua exactamente en el conjunto $K$ formado por los puntos de la elipse unión el origen. Este conjunto es claramente cerrado y acotado en $\mathbb{R}^2$ y por tanto compacto.
Solución
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