Criterios de la raíz, cociente y Raabe

Proporcionamos ejercicios sobre los criterios de la raíz, cociente y Raabe.

RESUMEN TEÓRICO
  • Teorema  (Criterio de la raíz o de Cauchy).  Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie. Supongamos que existe $$L=\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}.$$ Entonces,
    $i)$ Si $L<1,$ la serie es absolutamente convergente.
    $ii)$ Si $L>1,$ la serie es divergente.
    $iii)$ Si $L=1,$ nada se puede asegurar sobre el carácter de la serie (caso dudoso).
  • Teorema  (Regla de D’Alembert o criterio del cociente).  Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie. Supongamos que existe  $$L=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|.$$ Entonces,
    $i)$ Si $L<1,$ la serie es absolutamente convergente.
    $ii)$ Si $L>1,$ la serie es divergente.
    $iii)$ Si $L=1,$ nada se puede asegurar sobre el carácter de la serie (caso dudoso).
  • Teorema.  Si $\left|u_{n+1}/u_n\right|\to L,$ entonces $\sqrt[n]{\left|u_n\right|}\to L.$
  • Consecuencia.   En general, el criterio del cociente es de aplicación más sencilla que el de la raíz. Ahora bien, si hemos empezado con el del cociente y obtenemos como resultado $L=1,$ perderíamos el tiempo intentando salir de la duda mediante el criterio de la raíz, pues según el teorema anterior el límite correspondiente también sería $1.$
    Esto quiere decir que el criterio de la raíz es más general que el del cociente, por lo que es preferible en estudios más superiores, pero para muchas series suele bastar el del cociente.
  • Teorema ( Criterio de Raabe).  Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie. Supongamos que existe $$L=\lim_{n\to +\infty}n\left(1-\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|\right).$$ Entonces,
    $i)$ Si $L>1,$ la serie es absolutamente convergente.
    $ii)$ Si $L<1,$ la serie es divergente.
    $iii)$ Si $L=1,$ nada se puede asegurar sobre el carácter de la serie (caso dudoso).
  • El criterio de Raabe suele aplicarse cuando el del cociente proporciona caso dudoso.
    Enunciado
  1. Usando el criterio de la raíz, analizar el carácter de las siguientes series de términos positivos:
    $1)\;\displaystyle\sum \left(\frac{n+1}{2n-1}\right)^n.\quad 2)\;\displaystyle\sum \left(\frac{3n-1}{2n+1}\right)^{n+2}.\quad3)\;\sum \frac{1}{n}.$
  2. Usando el criterio del cociente, analizar el carácter de las siguientes series de términos positivos:
    $1)\;\displaystyle\sum \frac{3n-1}{\left(\sqrt{2}\right)^n}. $$2)\;\displaystyle\sum \frac{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)}{1\cdot 5\cdot 9\cdot\ldots\cdot(4n-3)}.\quad3)\;\sum \frac{1}{n}.\quad 4)\;\displaystyle\sum \frac{n!}{3^n}.$$
  3. Usando el criterio del cociente, analizar el carácter de las siguientes series de términos positivos:
    $1)\;\displaystyle\sum \frac{(n+1)(n+2)}{n!}.\quad2)\;\displaystyle\sum \frac{5^n}{n!}.\quad3)\;\sum \frac{n}{2^n}.$
  4. Usar el criterio del cociente, y después el de Raabe para analizar el carácter de la serie $\displaystyle\sum \frac{2\cdot 4\cdot 6\cdot\ldots\cdot2n}{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)}.$
  5. Demostrar el criterio de la raíz:
    Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie. Supongamos que $\sqrt[n]{\left|u_n\right|}$ tiene límite $L.$ Entonces: $i)$ Si $L<1,$ la serie es absolutamente convergente. $ii)$ Si $L>1,$ la serie es divergente.
  6. Demostrar la regla de D’Alembert o criterio del cociente :
    Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie. Supongamos que $\left|u_{n+1}/u_n\right|$ tiene límite $L.$ Entonces: $i)$ Si $L<1,$ la serie es absolutamente convergente. $ii)$ Si $L>1,$ la serie es divergente.
  7. Demostrar que si para una serie el límite $L$ correspondiente al criterio del cociente es $1,$ de este hecho no podemos deducir el carácter de la misma.
  8. Demostrar que si para una serie el límite $L$ correspondiente al criterio de la raíz es $1,$ de este hecho no podemos deducir el carácter de la misma.
  9. Usando el criterio del cociente, analizar el carácter de las siguientes series de términos positivos:
    $1)\;\displaystyle\sum \frac{3^{2n-1}}{n^2-n}.\quad 2)\;\displaystyle\sum \frac{(n+1)2^n}{n!}.\quad3)\;\sum n\left(\frac{3}{4}\right)^n.$
  10. Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series de términos positivos
    $1)\;\displaystyle\sum \frac{1}{n!}.\;\; 2)\;\displaystyle\sum \frac{1}{(n+3)^2-2}.\;\;3)\;\sum \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}.\;\; 4)\;\displaystyle\sum \frac{2n^2}{n^2+1}.$
  11. Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series de términos positivos
    $1)\;\displaystyle\sum \left(\frac{4n}{3n+1}\right)^n.\;\; 2)\;\displaystyle\sum \left(\frac{2n+1}{5n+2}\right)^{n/2}.\;\;3)\;\sum \frac{n^3}{e^n}.\;\; 4)\;\displaystyle\sum \frac{2^{n+1}}{n^n}.$
  12. Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series de términos positivos
    $1)\;\displaystyle\sum \operatorname{arcsen}\frac{1}{\sqrt{n}}.\;\; 2)\;\displaystyle\sum \operatorname{sen}\frac{1}{n^2}.\;\;3)\;\sum \log \left(1+\frac{1}{n}\right).\;\; 4)\;\displaystyle\sum \frac{2^{n}n!}{n^n}.$
  13. Demostrar que si $\left|a\right|<1$, la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a^n\log n}{n+4}$ es absolutamente convergente.
    Solución
  1. Al ser las series de términos positivos, tenemos en cada caso $$L=\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{u_{n}}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_{n}^{\;\frac{1}{n}}.$$ $1)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left[\left(\frac{n+1}{2n-1}\right)^n\right]^{1/n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{2n-1}=\frac{1}{2}<1$ (convergente).
    $2)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left[\left(\frac{3n-1}{2n+1}\right)^{n+2}\right]^{1/n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{3n-1}{2n+1}\right)^{\frac{n+2}{n}}=\left(\frac{3}{2}\right)^1=\frac{3}{2}>1$ (divergente).
    $3)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{1/n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^{1/n}}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=\frac{1}{1}=1.$ El criterio de la raíz no decide. No obstante, es la serie armónica, que sabemos que es divergente.
  2. Llamemos en cada caso $L=\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}/u_n.$
    $1)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{3n+2}{\left(\sqrt{2}\right)^{n+1}}\frac{\left(\sqrt{2}\right)^n}{3n-1}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{3n+2}{\sqrt{2}(3n-1)}=\frac{1}{\sqrt{2}}<1$ (convergente). $$2)\quad L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)(3n+2)}{1\cdot 5\cdot 9\cdot\ldots\cdot(4n-3)(4n+1)}\frac{1\cdot 5\cdot 9\cdot\ldots\cdot(4n-3)}{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)}$$$$=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{3n+2}{4n+1}=\frac{3}{4}<1\text{ (convergente).}$$$3)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n+1}\cdot n=1.$ El criterio del cociente no decide. No obstante, es la serie armónica, que sabemos que es divergente.
    $4)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{(n+1)!}{3^{n+1}}\frac{3^n}{n!}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{3}=+\infty>1$ (divergente).
  3. Llamemos en cada caso $L=\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}/u_n.$
    $1)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{(n+2)(n+3)}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)(n+2)}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{(n+3)}{(n+1)^2}=0<1$ (convergente).
    $2)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{5^{n+1}}{(n+1)!}\frac{n!}{5^n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{5}{n+1}=0<1$ (convergente).
    $3)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{2^{n+1}}\frac{2^n}{n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}<1$ (convergente).
  4. La serie es de términos positivos. Usando el criterio del cociente: $$\lim_{n\to +\infty}\frac{2\cdot 4\cdot 6\cdot\ldots\cdot2n\cdot (2n+2)}{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)\cdot (2n+3)}\cdot \frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot\ldots\cdot2n}$$ $$=\lim_{n\to +\infty}\frac{2n+2}{2n+3}=1\text{ (caso dudoso).}$$ Usando el criterio de Raabe: $$\lim_{n\to +\infty}n\left(1-\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)=\lim_{n\to +\infty}n\left(1-\frac{2n+2}{2n+3}\right)=\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{2n+3}=\frac{1}{2}<1,$$ luego la serie es divergente.
  5. $i)$ Como $L<1,$ consideremos un número $r$ tal que $L<r<1.$ Por definición de límite, para $n$ suficientemente grande se verifica $\sqrt[n]{\left|u_n\right|}<r,$ o de forma equivalente $\left|u_n\right|<r^n.$ Como la serie de término general $r^n$ es convergente (geométrica de razón un número en módulo menor que $1$), se deduce que la serie de término general $\left|u_n\right|$ es convergente.
    $ii)$ Si $L>1,$ por definición de límite se verifica para $n$ suficientemente grande $\sqrt[n]{\left|u_n\right|}>1,$ o de forma equivalente $\left|u_n\right|>1.$ El límite de $u_n$ no tiende a $0,$ luego la serie es divergente.
  6. $i)$ Como $L<1,$ consideremos un número $r$ tal que $L<r<1.$ Por definición de límite, para $n$ suficientemente grande se verifica $\left|u_{n+1}/u_n\right|<r.$ Si pérdida de generalidad, podemos suprimir un número finito de términos de la serie de tal manera que se verifique $\left|u_{n+1}/u_n\right|<r$ para todo $n.$ Tenemos pues $$\left|u_n\right|=\left|\frac{u_{n}}{u_{n-1}}\right|\cdot \left|\frac{u_{n-1}}{u_{n-2}}\right|\cdot\left|\frac{u_{n-2}}{u_{n-3}}\right|\cdot\ldots \cdot \left|\frac{u_{2}}{u_{1}}\right|\cdot\left|u_1\right|<\left|u_1\right|r^{n-1}.$$ Como $r$ tiene valor absoluto menor que $1,$ la serie de término general $\left|u_1\right|r^{n-1}$ es convergente (álgebra de series y teorema de convergencia de la serie geométrica). Por el criterio de comparación, la serie de término general $\left|u_n\right|$ es convergente.
    $ii)$ Si $L>1,$ entonces para $n$ suficientemente grande se verifica $\left|u_{n+1}/u_n\right|>1,$ o de forma equivalente $\left|u_{n+1}\right|>\left|u_n\right|,$ luego el término general $u_n$ no tiende a $0$ y como consecuencia la serie es divergente.
  7. En efecto, elijamos las series $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n},\quad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.$$ Los límites correspondientes al criterio del cociente son respectivamente
    $$\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n+1}:\frac{1}{n}=1,\quad \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{(n+1)^2}:\frac{1}{n^2}=1,$$ sin embargo, la primera serie es divergente y la segunda convergente, según el conocido teorema acerca de las series de Riemann.
  8. En efecto, elijamos las series $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n},\quad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.$$ Usando el conocido resultado $\sqrt[n]{n}\to 1,$ obtenemos los límites correspondientes al criterio de la raíz: $$\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{1/n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^{1/n}}=1,\; \lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}\right)^{1/n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\left(n^{1/n}\right)^2}=1.$$ Sin embargo, la primera serie es divergente y la segunda convergente, según el conocido teorema acerca de las series de Riemann.
  9. Llamemos en cada caso $L=\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}/u_n.$
    $1)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{3^{2n+1}}{(n+1)^2-(n+1)}\frac{n^2-n}{3^{2n-1}}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{9(n^2-n)}{n^2+n}=9>1$ (divergente).
    $2)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{(n+2)2^{n+1}}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)2^{n}}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{2(n+2)}{(n+1)^2}=0<1$ (convergente).
    $3)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(n+1)\left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}\cdot \frac{1}{n}\left(\frac{4}{3}\right)^{n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{3}{4}\frac{n+1}{n}=\frac{3}{4}<1$ (convergente).
  10. $1)$ Usamos el criterio del cociente: $$L=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{1}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}
    {n+1}=0<1.$$ La serie es convergente.
    $2)$ Usamos el criterio de comparación por cociente: $$L=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{(n+3)^2-2}: \frac{1}{n^2}=\lim_{n\to +\infty}\frac{n^2}
    {(n+3)^2-2}=1\neq 0.$$ La serie tiene el mismo carácter que $\sum 1/n^2$ que es convergente.
    $3)$ Usamos el criterio de comparación por cociente: $$L=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}: \frac{1}{n^2}=\lim_{n\to +\infty}\frac{n^2}
    {(4n-3)(4n+1)}=\frac{1}{16}\neq 0.$$ La serie tiene el mismo carácter que $\sum 1/n^2$ que es convergente.
    $4)$ Usamos el teorema de la condición necesaria para la convergencia: $$\lim_{n\to +\infty}\frac{2n^2}{n^2+1}=2\neq 0,$$ por tanto la serie es divergente.
  11. $1)$ Usamos el criterio de la raíz. $$L=\lim_{n\to +\infty} \left[\left(\frac{4n}{3n+1}\right)^n\right]^{1/n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{4n}{3n+1}=\frac{4}{3}>1.$$
    La serie es divergente.
    $2)$ Usamos el criterio de la raíz. $$L=\lim_{n\to +\infty} \left[\left(\frac{2n+1}{5n+2}\right)^{n/2}\right]^{1/n}=\lim_{n\to +\infty}\sqrt{\frac{2n+1}{5n+2}}=\sqrt{\frac{2}{5}}<1.$$ La serie es convergente.
    $3)$ Usamos el criterio del cociente. $$L=\lim_{n\to +\infty} \frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}\cdot\frac{e^n}{n^3}=\lim_{n\to +\infty} \frac{(n+1)^3}{en^3}=\frac{1}{e}<1.$$
    La serie es convergente.
    $4)$ Usamos el criterio de la raíz. $$L=\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{2^{n+1}}{n^n}\right)^{1/n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{2^{(n+1)/n}}{n}=\frac{2^1}{+\infty}=0<1.$$
    La serie es convergente.
  12. $1)$ Usamos el criterio de comparación por cociente y que $\operatorname{arcsen}x\sim x$ para $x\to 0,$ lo cual implica que $\operatorname{arcsen}1/\sqrt{n}\sim 1/\sqrt{n}$ para $n\to +\infty:$ $$\lim_{n\to +\infty}\frac{\operatorname{arcsen}1/\sqrt{n}}{1/\sqrt{n}}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1/\sqrt{n}}{1/\sqrt{n}}=1\neq 0,$$ por tanto la serie dada tiene el mismo carácter que la $\sum 1/\sqrt{n}=\sum 1/n^{1/2},$ que es divergente.
    $2)$ Usamos el criterio de comparación por cociente y que $\operatorname{sen}x\sim x$ para $x\to 0,$ lo cual implica que $\operatorname{sen}1/n^2\sim 1/n^2$ para $n\to +\infty:$ $$\lim_{n\to +\infty}\frac{\operatorname{sen}1/n^2}{1/n^2}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1/n^2}{1/n^2}=1\neq 0,$$ por tanto la serie dada tiene el mismo carácter que la $\sum 1/n^2,$ que es convergente.
    $3)$ Usamos el criterio de comparación por cociente y que $\log (1+x)\sim x$ si $x\to 0,$ lo ual implica que $\log (1+1/n)\sim 1/n$ para $n\to +\infty:$ $$\lim_{n\to +\infty}\frac{\log (1+1/n)}{1/n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1/n}{1/n}=1\neq 0,$$ por tanto la serie dada tiene el mismo carácter que la $\sum 1/n,$ que es divergente.
    $4)$ Usamos el criterio del cociente.$$L=\lim_{n\to +\infty}\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot \frac{n^n}{2^nn!}=\lim_{n\to +\infty}2\left(\frac{n}{n+1}\right)^n.$$ Ahora bien, $$\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left\{1^{+\infty}\right\}=e^{\lambda}\text{ con }\lambda=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n}{n+1}-1\right)n=e^{-1}.$$ Es decir, $L=2/e<1,$ luego la serie es convergente.
  13. Apliquemos el criterio del cociente. $$L=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|a\right|^{n+1}\log (n+1)}{n+5}\frac{n+4}{\left|a\right|^{n}\log n}$$ $$=\left|a\right|\lim_{n\to +\infty}\frac{n+4}{n+5}\frac{\log (n+1)}{\log n}=\left|a\right|\cdot 1\cdot 1=\left|a\right|.$$ Por tanto, si $L=\left|a\right|<1$ la serie es absolutamente convergente.
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