Criterios de la raíz, cociente y Raabe

Proporcionamos ejercicios sobre los criterios de la raíz, cociente y Raabe.

Enunciado
1. Usando el criterio de la raíz, analizar el carácter de las siguientes series de términos positivos:
   $1)\;\displaystyle\sum \left(\frac{n+1}{2n-1}\right)^n.\quad 2)\;\displaystyle\sum \left(\frac{3n-1}{2n+1}\right)^{n+2}.\quad3)\;\sum \frac{1}{n}.$
2. Usando el criterio del cociente, analizar el carácter de las siguientes series de términos positivos:
   $1)\;\displaystyle\sum \frac{3n-1}{\left(\sqrt{2}\right)^n}. $$2)\;\displaystyle\sum \frac{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)}{1\cdot 5\cdot 9\cdot\ldots\cdot(4n-3)}.\quad3)\;\sum \frac{1}{n}.\quad 4)\;\displaystyle\sum \frac{n!}{3^n}.$$
3. Usando el criterio del cociente, analizar el carácter de las siguientes series de términos positivos:
   $1)\;\displaystyle\sum \frac{(n+1)(n+2)}{n!}.\quad2)\;\displaystyle\sum \frac{5^n}{n!}.\quad3)\;\sum \frac{n}{2^n}.$
4. Usar el criterio del cociente, y después el de Raabe para analizar el carácter de la serie $\displaystyle\sum \frac{2\cdot 4\cdot 6\cdot\ldots\cdot2n}{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)}.$
5. Demostrar el criterio de la raíz:
   Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie. Supongamos que $\sqrt[n]{\left|u_n\right|}$ tiene límite $L.$ Entonces: $i)$ Si $L<1,$ la serie es absolutamente convergente. $ii)$ Si $L>1,$ la serie es divergente.
6. Demostrar la regla de D’Alembert o criterio del cociente :
   Sea $u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ una serie. Supongamos que $\left|u_{n+1}/u_n\right|$ tiene límite $L.$ Entonces: $i)$ Si $L<1,$ la serie es absolutamente convergente. $ii)$ Si $L>1,$ la serie es divergente.
7. Demostrar que si para una serie el límite $L$ correspondiente al criterio del cociente es $1,$ de este hecho no podemos deducir el carácter de la misma.
8. Demostrar que si para una serie el límite $L$ correspondiente al criterio de la raíz es $1,$ de este hecho no podemos deducir el carácter de la misma.
9. Usando el criterio del cociente, analizar el carácter de las siguientes series de términos positivos:
   $1)\;\displaystyle\sum \frac{3^{2n-1}}{n^2-n}.\quad 2)\;\displaystyle\sum \frac{(n+1)2^n}{n!}.\quad3)\;\sum n\left(\frac{3}{4}\right)^n.$
10. Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series de términos positivos
    $1)\;\displaystyle\sum \frac{1}{n!}.\;\; 2)\;\displaystyle\sum \frac{1}{(n+3)^2-2}.\;\;3)\;\sum \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}.\;\; 4)\;\displaystyle\sum \frac{2n^2}{n^2+1}.$
11. Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series de términos positivos
    $1)\;\displaystyle\sum \left(\frac{4n}{3n+1}\right)^n.\;\; 2)\;\displaystyle\sum \left(\frac{2n+1}{5n+2}\right)^{n/2}.\;\;3)\;\sum \frac{n^3}{e^n}.\;\; 4)\;\displaystyle\sum \frac{2^{n+1}}{n^n}.$
12. Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series de términos positivos
    $1)\;\displaystyle\sum \operatorname{arcsen}\frac{1}{\sqrt{n}}.\;\; 2)\;\displaystyle\sum \operatorname{sen}\frac{1}{n^2}.\;\;3)\;\sum \log \left(1+\frac{1}{n}\right).\;\; 4)\;\displaystyle\sum \frac{2^{n}n!}{n^n}.$
13. Demostrar que si $\left|a\right|<1$, la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a^n\log n}{n+4}$ es absolutamente convergente.

Solución
1. Al ser las series de términos positivos, tenemos en cada caso $$L=\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{u_{n}}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_{n}^{\;\frac{1}{n}}.$$ $1)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left[\left(\frac{n+1}{2n-1}\right)^n\right]^{1/n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{2n-1}=\frac{1}{2}<1$ (convergente).
   $2)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left[\left(\frac{3n-1}{2n+1}\right)^{n+2}\right]^{1/n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{3n-1}{2n+1}\right)^{\frac{n+2}{n}}=\left(\frac{3}{2}\right)^1=\frac{3}{2}>1$ (divergente).
   $3)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{1/n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^{1/n}}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=\frac{1}{1}=1.$ El criterio de la raíz no decide. No obstante, es la serie armónica, que sabemos que es divergente.
2. Llamemos en cada caso $L=\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}/u_n.$
   $1)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{3n+2}{\left(\sqrt{2}\right)^{n+1}}\frac{\left(\sqrt{2}\right)^n}{3n-1}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{3n+2}{\sqrt{2}(3n-1)}=\frac{1}{\sqrt{2}}<1$ (convergente). $$2)\quad L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)(3n+2)}{1\cdot 5\cdot 9\cdot\ldots\cdot(4n-3)(4n+1)}\frac{1\cdot 5\cdot 9\cdot\ldots\cdot(4n-3)}{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)}$$$$=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{3n+2}{4n+1}=\frac{3}{4}<1\text{ (convergente).}$$$3)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n+1}\cdot n=1.$ El criterio del cociente no decide. No obstante, es la serie armónica, que sabemos que es divergente.
   $4)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{(n+1)!}{3^{n+1}}\frac{3^n}{n!}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{3}=+\infty>1$ (divergente).
3. Llamemos en cada caso $L=\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}/u_n.$
   $1)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{(n+2)(n+3)}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)(n+2)}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{(n+3)}{(n+1)^2}=0<1$ (convergente).
   $2)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{5^{n+1}}{(n+1)!}\frac{n!}{5^n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{5}{n+1}=0<1$ (convergente).
   $3)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{2^{n+1}}\frac{2^n}{n}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}<1$ (convergente).
4. La serie es de términos positivos. Usando el criterio del cociente: $$\lim_{n\to +\infty}\frac{2\cdot 4\cdot 6\cdot\ldots\cdot2n\cdot (2n+2)}{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)\cdot (2n+3)}\cdot \frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot\ldots\cdot2n}$$ $$=\lim_{n\to +\infty}\frac{2n+2}{2n+3}=1\text{ (caso dudoso).}$$ Usando el criterio de Raabe: $$\lim_{n\to +\infty}n\left(1-\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)=\lim_{n\to +\infty}n\left(1-\frac{2n+2}{2n+3}\right)=\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{2n+3}=\frac{1}{2}<1,$$ luego la serie es divergente.
5. $i)$ Como $L<1,$ consideremos un número $r$ tal que $L<r<1.$ Por definición de límite, para $n$ suficientemente grande se verifica $\sqrt[n]{\left|u_n\right|}<r,$ o de forma equivalente $\left|u_n\right|<r^n.$ Como la serie de término general $r^n$ es convergente (geométrica de razón un número en módulo menor que $1$), se deduce que la serie de término general $\left|u_n\right|$ es convergente.
   $ii)$ Si $L>1,$ por definición de límite se verifica para $n$ suficientemente grande $\sqrt[n]{\left|u_n\right|}>1,$ o de forma equivalente $\left|u_n\right|>1.$ El límite de $u_n$ no tiende a $0,$ luego la serie es divergente.
6. $i)$ Como $L<1,$ consideremos un número $r$ tal que $L<r<1.$ Por definición de límite, para $n$ suficientemente grande se verifica $\left|u_{n+1}/u_n\right|<r.$ Si pérdida de generalidad, podemos suprimir un número finito de términos de la serie de tal manera que se verifique $\left|u_{n+1}/u_n\right|<r$ para todo $n.$ Tenemos pues $$\left|u_n\right|=\left|\frac{u_{n}}{u_{n-1}}\right|\cdot \left|\frac{u_{n-1}}{u_{n-2}}\right|\cdot\left|\frac{u_{n-2}}{u_{n-3}}\right|\cdot\ldots \cdot \left|\frac{u_{2}}{u_{1}}\right|\cdot\left|u_1\right|<\left|u_1\right|r^{n-1}.$$ Como $r$ tiene valor absoluto menor que $1,$ la serie de término general $\left|u_1\right|r^{n-1}$ es convergente (álgebra de series y teorema de convergencia de la serie geométrica). Por el criterio de comparación, la serie de término general $\left|u_n\right|$ es convergente.
   $ii)$ Si $L>1,$ entonces para $n$ suficientemente grande se verifica $\left|u_{n+1}/u_n\right|>1,$ o de forma equivalente $\left|u_{n+1}\right|>\left|u_n\right|,$ luego el término general $u_n$ no tiende a $0$ y como consecuencia la serie es divergente.
7. En efecto, elijamos las series $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n},\quad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.$$ Los límites correspondientes al criterio del cociente son respectivamente
   $$\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n+1}:\frac{1}{n}=1,\quad \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{(n+1)^2}:\frac{1}{n^2}=1,$$ sin embargo, la primera serie es divergente y la segunda convergente, según el conocido teorema acerca de las series de Riemann.
8. En efecto, elijamos las series $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n},\quad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.$$ Usando el conocido resultado $\sqrt[n]{n}\to 1,$ obtenemos los límites correspondientes al criterio de la raíz: $$\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{1/n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^{1/n}}=1,\; \lim_{n\to +\infty}\left(\frac{1}{n^2}\right)^{1/n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\left(n^{1/n}\right)^2}=1.$$ Sin embargo, la primera serie es divergente y la segunda convergente, según el conocido teorema acerca de las series de Riemann.
9. Llamemos en cada caso $L=\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}/u_n.$
   $1)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{3^{2n+1}}{(n+1)^2-(n+1)}\frac{n^2-n}{3^{2n-1}}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{9(n^2-n)}{n^2+n}=9>1$ (divergente).
   $2)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{(n+2)2^{n+1}}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)2^{n}}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{2(n+2)}{(n+1)^2}=0<1$ (convergente).
   $3)$ $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(n+1)\left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}\cdot \frac{1}{n}\left(\frac{4}{3}\right)^{n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{3}{4}\frac{n+1}{n}=\frac{3}{4}<1$ (convergente).
10. $1)$ Usamos el criterio del cociente: $$L=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{1}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}
    {n+1}=0<1.$$ La serie es convergente.
    $2)$ Usamos el criterio de comparación por cociente: $$L=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{(n+3)^2-2}: \frac{1}{n^2}=\lim_{n\to +\infty}\frac{n^2}
    {(n+3)^2-2}=1\neq 0.$$ La serie tiene el mismo carácter que $\sum 1/n^2$ que es convergente.
    $3)$ Usamos el criterio de comparación por cociente: $$L=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}: \frac{1}{n^2}=\lim_{n\to +\infty}\frac{n^2}
    {(4n-3)(4n+1)}=\frac{1}{16}\neq 0.$$ La serie tiene el mismo carácter que $\sum 1/n^2$ que es convergente.
    $4)$ Usamos el teorema de la condición necesaria para la convergencia: $$\lim_{n\to +\infty}\frac{2n^2}{n^2+1}=2\neq 0,$$ por tanto la serie es divergente.
11. $1)$ Usamos el criterio de la raíz. $$L=\lim_{n\to +\infty} \left[\left(\frac{4n}{3n+1}\right)^n\right]^{1/n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{4n}{3n+1}=\frac{4}{3}>1.$$
    La serie es divergente.
    $2)$ Usamos el criterio de la raíz. $$L=\lim_{n\to +\infty} \left[\left(\frac{2n+1}{5n+2}\right)^{n/2}\right]^{1/n}=\lim_{n\to +\infty}\sqrt{\frac{2n+1}{5n+2}}=\sqrt{\frac{2}{5}}<1.$$ La serie es convergente.
    $3)$ Usamos el criterio del cociente. $$L=\lim_{n\to +\infty} \frac{(n+1)^3}{e^{n+1}}\cdot\frac{e^n}{n^3}=\lim_{n\to +\infty} \frac{(n+1)^3}{en^3}=\frac{1}{e}<1.$$
    La serie es convergente.
    $4)$ Usamos el criterio de la raíz. $$L=\lim_{n\to +\infty} \left(\frac{2^{n+1}}{n^n}\right)^{1/n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{2^{(n+1)/n}}{n}=\frac{2^1}{+\infty}=0<1.$$
    La serie es convergente.
12. $1)$ Usamos el criterio de comparación por cociente y que $\operatorname{arcsen}x\sim x$ para $x\to 0,$ lo cual implica que $\operatorname{arcsen}1/\sqrt{n}\sim 1/\sqrt{n}$ para $n\to +\infty:$ $$\lim_{n\to +\infty}\frac{\operatorname{arcsen}1/\sqrt{n}}{1/\sqrt{n}}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1/\sqrt{n}}{1/\sqrt{n}}=1\neq 0,$$ por tanto la serie dada tiene el mismo carácter que la $\sum 1/\sqrt{n}=\sum 1/n^{1/2},$ que es divergente.
    $2)$ Usamos el criterio de comparación por cociente y que $\operatorname{sen}x\sim x$ para $x\to 0,$ lo cual implica que $\operatorname{sen}1/n^2\sim 1/n^2$ para $n\to +\infty:$ $$\lim_{n\to +\infty}\frac{\operatorname{sen}1/n^2}{1/n^2}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1/n^2}{1/n^2}=1\neq 0,$$ por tanto la serie dada tiene el mismo carácter que la $\sum 1/n^2,$ que es convergente.
    $3)$ Usamos el criterio de comparación por cociente y que $\log (1+x)\sim x$ si $x\to 0,$ lo ual implica que $\log (1+1/n)\sim 1/n$ para $n\to +\infty:$ $$\lim_{n\to +\infty}\frac{\log (1+1/n)}{1/n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{1/n}{1/n}=1\neq 0,$$ por tanto la serie dada tiene el mismo carácter que la $\sum 1/n,$ que es divergente.
    $4)$ Usamos el criterio del cociente.$$L=\lim_{n\to +\infty}\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot \frac{n^n}{2^nn!}=\lim_{n\to +\infty}2\left(\frac{n}{n+1}\right)^n.$$ Ahora bien, $$\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left\{1^{+\infty}\right\}=e^{\lambda}\text{ con }\lambda=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n}{n+1}-1\right)n=e^{-1}.$$ Es decir, $L=2/e<1,$ luego la serie es convergente.
13. Apliquemos el criterio del cociente. $$L=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{\left|a\right|^{n+1}\log (n+1)}{n+5}\frac{n+4}{\left|a\right|^{n}\log n}$$ $$=\left|a\right|\lim_{n\to +\infty}\frac{n+4}{n+5}\frac{\log (n+1)}{\log n}=\left|a\right|\cdot 1\cdot 1=\left|a\right|.$$ Por tanto, si $L=\left|a\right|<1$ la serie es absolutamente convergente.