Descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces

Demostramos la existencia de la descomposición de un polinomio en suma de productos de raíces.

Enunciado
Se consideran $n$ elementos $x_1,x_2,\ldots,\;x_n$ de un cuerpo $\mathbb{K}$ y un polinomio $p(x)$ con coeficientes en $\mathbb{K}$ y de grado menor o igual que $n$. Se desea estudiar la existencia y unicidad de unos coeficientes $c_0,c_1,\ldots,c_n$ en $\mathbb{K}$ tales que $$p(x)=c_0+c_1(x-x_1)+c_2(x-x_1)(x-x_2)+\ldots+c_n(x-x_1)\ldots(x-x_n).\quad (*) $$
1. Demostrar la unicidad de $c_0$ y a continuación la de $c_1$.
2. Demostrar la unicidad de todos los $c_i$.
3. Demostrar la existencia de los $c_i$.
4. Encontrar un algoritmo que permita el cálculo sucesivo de los $c_i$ mediante operaciones racionales.
5. Aplicación al caso $\mathbb{K}=\mathbb{Q}$, $p(x)=x^5+32$, $x_1=-2$, $x_2=-1$, $x_3=1$, $x_4=1$, $x_5=2$.

   (Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
1. Supongamos que se verifica la igualdad $(*)$. Entonces, $p(x_1)=c_0$ lo cual implica que $c_0$ está unívocamente determinado. Queda por tanto:

   $p(x)-p(x_1)=c_1(x-x_1)+c_2(x-x_1)(x-x_2)+\ldots+c_n(x-x_1)\ldots(x-x_n).$

   Consideremos el polinomio

   $p_1(x)=\displaystyle\frac{p(x)-p(x_1)}{x-x_1}=c_1+c_2(x-x_2)+\ldots+c_n(x-x_2)\ldots(x-x_n).$

   Entonces, $p_1(x_2)=c_1$ lo cual implica que $c_1$ está unívocamente determinado.

2. Tenemos

   $p_1(x)-c_1=p_1(x)-p_1(x_2)=c_2(x-x_2)+\ldots+c_n(x-x_2)\ldots(x-x_n).$

   Consideremos el polinomio

   $p_2(x)=\displaystyle\frac{p_1(x)-p_1(x_2)}{x-x_2}=c_2+c_3(x-x_3)+\ldots+c_n(x-x_3)\ldots(x-x_n).$

   Entonces, $p_2(x_2)=c_2$ lo cual implica que $c_2$ está unívocamente determinado. Reiterando, obtenemos los polinomios $p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots$ con

   $p_k(x)=\displaystyle\frac{p_{k-1}(x)-p_{k-1}(x_k)}{x-x_k}\\=c_k+c_{k+1}(x-x_{k+1})+\ldots+c_n(x-x_{k+1})\ldots(x-x_n).$

   Por tanto, $p_k(x_{k+1})=c_k$ lo cual implica que $c_k$ está unívocamente determinado, siendo $c_n=a_n$ (el coeficiente de $x^n$ en $p(x)$).

3. La existencia de los $c_i$ se deduce inmediatamente del apartado anterior, ya que estos se han ido construyendo recursivamente. Otra forma de demostrarlo es considerar la aplicación lineal $\mathbb{K}^{n+1}\to \mathbb{K}_n[x]:$

   $(c_0,c_1,\ldots,c_n)\to c_0+c_1(x-x_1)+\ldots+c_n(x-x_1)\ldots(x-x_n).$

   Es fácil demostrar que es inyectiva, y por ser los espacios inicial y final de la misma dimensión, también es biyectiva.

4. De la construcción de los coeficientes $c_i$ deducimos:

   $$c_0: \text{ resto de la división de } p(x)\mbox { entre }x-x_1$$$$c_1: \text{ resto de la división de } p_1(x)\mbox { entre }x-x_2$$$$c_2: \text{ resto de la división de } p_2(x)\mbox { entre }x-x_3\\\ldots\\c_n=a_n.$$

5. Combinando los apartados primero segundo y cuarto obtenemos:

   $$\begin{array}{r|rrrrrr}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 32\\-2 & & -2 & 4 & -8 & 16 & -32\\\hline & 1 & -2 & 4 & -8 & 16 & 0\end{array}\quad \Rightarrow c_0=0$$ $$\begin{array}{r|rrrrr}
   & 1 & -2 & 4 & -8 & 16\\
   -1 & & -1 & 3 & -7 & 15\\\hline & 1 & -3 & 7 & -15 & 31 \end{array}\quad \Rightarrow c_1=31$$ $$\begin{array}{r|rrrr}
   & 1 & -3 & 7 & -15 \\
   1 & & 1 & -2 & 5 \\
   \hline & 1 & -2 & 5 & -10 \end{array}\quad \Rightarrow c_2=-10$$ $$\begin{array}{r|rrr}
   & 1 & -2 & 5 \\
   1 & & 1 & -1 \\
   \hline & 1 & -1 & 4 \end{array}\quad \Rightarrow c_3=4$$ $$\begin{array}{r|rr}
   & 1 & -1 \\
   2 & & 2 \\
   \hline & 1 & 1 \end{array}\quad \Rightarrow c_4=1,\;c_5=1.$$

   Podemos por tanto expresar:

   $\displaystyle\begin{aligned}
   x^5+32&=31(x+2)\\
   &-10(x+2)(x+1)\\
   &+4(x+2)(x+1)(x-1)\\
   &+(x+2)(x+1)(x-1)^2\\
   &+(x+2)(x+1)(x-1)^2(x-2).
   \end{aligned}$