Series alternadas, criterio de Leibniz

Proporcionamos ejercicios sobre series alternadas y el criterio de Leibniz.

Enunciado
1. Analizar la convergencia de las siguientes series alternadas:
   $1)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}.\quad $ $2)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}.\quad $ $3)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^nn^2}{3n^2+5}.$
2. Analizar la convergencia de las siguientes series alternadas. Si son convergentes, estudiar si la convergencia es absoluta o condicional.
   $1)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}.\quad $ $2)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}.\quad $ $3)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^nn}{7n-3}.$
3. Analizar la convergencia absoluta y condicional de las series:
   $1)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{{2n+1}}{n(n+1)}.\quad $ $2)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{n}{2^n}.\quad $ $3)\;\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\left(\frac{2n+1}{3n+1}\right)^n.$
4. Estudiar la convergencia de la serie $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k}\log^2k.$
5. Si $a_n$ es la raíz mayor y $b_n$ la menor de $x^2-2nx+1=0,$ analizar el carácter de las series
   $1)\;\displaystyle\sum (-1)^nb_n.\quad 2)\;\sum \dfrac{1}{a_n}.\quad 3)\;\sum b_n^2.\quad 4)\;\sum e^{-(a_n+b_n)}.$

Solución
1. $1)$ Llamemos $v_n=1/n.$ Como, $1/(n+1)<1/n,$ la sucesión $v_n$ es decreciente. Por otra parte, $1/n\to 0.$ Por el criterio de Leibniz, la serie es convergente.
   $2)$ Llamemos $v_n=1/\sqrt{n}.$ Como, $1/\sqrt{n+1}<1/\sqrt{n,}$ la sucesión $v_n$ es decreciente. Por otra parte, $1/\sqrt{n}\to 0.$ Por el criterio de Leibniz, la serie es convergente.
   $3)$ La subsucesión de los términos pares tiene límite $1/3,$ y la de los impares $-1/3,$ luego el término general de la serie no tiende a $0.$ Como consecuencia, la serie es divergente.
2. $1)$ La serie es convergente según vimos en el ejercicio anterior. Tomando valores absolutos obtenemos la serie armónica, que es divergente. Por tanto, la serie es condicionalmente convergente.
   $2)$ Tomando valores absolutos obtenemos una serie de Riemann con $p=2>1,$ que es convergente, en consecuencia la serie dada es absolutamente convergente.
   $3)$ Claramente el término enésimo de la serie dada no tiene límite $0,$ luego es divergente.
3. $1)$ Llamemos $v_n=(2n+1)/n(n+1).$ Tenemos las equivalencias $$v_{n+1}\leq v_{n}\Leftrightarrow \frac{{2n+3}}{(n+1)(n+2)}\leq \frac{{2n+1}}{n(n+1)}\Leftrightarrow \frac{{2n+3}}{n+2}\leq \frac{{2n+1}}{n}$$ $$\Leftrightarrow 2n^2+3n\leq 2n^2+5n+2\Leftrightarrow 0\leq2n+2,$$ y la última desigualdad se cumple trivialmente para todo $n,$ luego $v_n$ es decreciente. Además, tiene límite $0,$ por tanto la serie dada es convergente (criterio de Leibniz).
   Podemos comprobar fácilmente que la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$ de los valores absolutos es divergente comparando con la armónica, usando el criterio de comparación por cociente. Concluimos que la serie dada es condicionalmente convergente.
   $2)$ Usando el criterio del cociente: $$L=\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{(-1)^{n}(n+1)}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{(-1)^nn}\right|=\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}<1,$$
   luego la serie dada es absolutamente convergente.
   $3)$ Usando el criterio de la raíz: $$L=\lim_{n\to +\infty}\left|\left(\frac{2n+1}{3n+1}\right)^n\right|^{1/n}=\lim_{n\to +\infty}\frac{2n+1}{3n+1}=\frac{2}{3}<1,$$ luego la serie dada es absolutamente convergente.
4. Es una serie alternada. Veamos si cumple las hipótesis del criterio de Leibniz. LLamando $u_k=\log^2k/k$ tenemos:
   $i)$ La sucesión $u_k$ es decreciente. Efectivamente, llamando $f(x)=\log^2x/x,$ $$f'(x)=\frac{\left(2\log x\right)\dfrac{1}{x}\cdot x-1\cdot\log^2x}{x^2}=\frac{\log x (2-\log x)}{x^2}.$$ Si $x=e^2,$ tenemos $\log e^2=2\log e=2.$ Como la función logaritmo neperiano es creciente, se deduce que si $x>e^2$ entonces $\log x>0$ y $2-\log x<0,$ lo cual implica que $f'(x)<0$ si $x>e^2$ y por tanto $f$ es decreciente si $x>e^2.$
   La sucesión es decreciente a partir de un cierto término (en concreto a partir del noveno pues $9>e^2$). Esto no afecta a la convergencia, pues según sabemos, se puede suprimir un número finito de términos.
   $ii)$ La sucesión $u_k$ tiene límite $0$. Efectivamente, elijamos la función auxiliar $f(x)=\log^2x/x.$ Usando la regla de L’Hôpital: $$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\log^2x}{x}=\left\{\frac{+\infty}{+\infty}\right\}=\lim_{x\to +\infty}\frac{(2\log x)\cdot\dfrac{1}{x}}{1}$$ $$=\lim_{x\to +\infty}\frac{2\log x}{x}=\left\{\frac{+\infty}{+\infty}\right\}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2\cdot\dfrac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2}{x}=0.$$ Como consecuencia, la sucesión $u_k$ tiene límite $0$. Deducimos del criterio de Leibniz que la serie dada es convergente.
5. Resolviendo la ecuación: $$x=\frac{2n\pm\sqrt{4n^2-4}}{2}=\frac{2n\pm2\sqrt{n^2-1}}{2}=n\pm \sqrt{n^2-1},$$ por tanto $a_n=n+\sqrt{n^2-1}$ y $b_n=n-\sqrt{n^2-1}.$
   $1)$ $\displaystyle\sum (-1)^nb_n$ es una serie alternada, veamos que se verifican las hipótesis del criterio de Leibniz. $$\lim_{n\to +\infty}b_n=\lim_{n\to +\infty}\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n^2-1}}=0.$$ Por otra parte, $$b_{n+1}-b_n=\frac{1}{n+1+\sqrt{(n+1)^2-1}}-\frac{1}{n+\sqrt{n^2-1}}<0,$$lo cual implica que $b_n$ es decreciente. La serie dada es convergente.
   $2)$ $\displaystyle\sum \dfrac{1}{a_n}=\sum \frac{1}{n+\sqrt{n^2-1}}$ es serie de términos positivos. Entonces,$$\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n+\sqrt{n^2-1}}:\frac{1}{n}=\lim_{n\to +\infty} \frac{n}{n+\sqrt{n^2-1}}=1\neq 0,$$ y la serie de términos positivos $\displaystyle\sum \dfrac{1}{n}$ es divergente. Por el criterio de comparación por cociente, la serie $\displaystyle\sum \dfrac{1}{a_n}$ es divergente.
   $3)$ $\displaystyle\sum b_n^2=\displaystyle\sum \left(n-\sqrt{n^2-1}\right)^2$ es serie de términos positivos. Multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada:$$\sum b_n^2=\sum\frac{1}{\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)^2}.$$Ahora bien,$$\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)^2}:\frac{1}{n^2}=\frac{1}{4}\neq 0,$$y la serie de Riemann $\displaystyle\sum\frac{1}{n^2}$ es convergente, luego también lo es $\displaystyle\sum b_n^2$ como consecuencia del criterio de comparación por cociente.
   $4)$ Como $a_n+b_n=2n,$ la serie dada es:$$\sum e^{-(a_n+b_n)}=\sum e^{-2n}=\sum \left(\frac{1}{e^2}\right)^n,$$y $1/e^2<1$ luego $\displaystyle\sum e^{-(a_n+b_n)}$ es convergente por el conocido teorema sobre la convergencia de series geométricas.