Series con factoriales en el denominador

Publicada el junio 12, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejemplos de cálculo de suma de series con factoriales en el denominador.

RESUMEN TEÓRICO

Consideremos las series de la forma $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{P(n)}{(n+a)!}\text{ con }a\in \mathbb{N} \text{ y }P\text{ polinomio de grado }k.$$ Para hallar la suma de estas series, podemos expresar el numerador de la siguiente manera: $$P(n)=A_k\underbrace{(n+a)(n+a-1)\ldots}_{k\text{ factores}}+A_{k-1}\underbrace{(n+a)(n+a-1)\ldots}_{k-1\text{ factores}}$$ $$+\cdots+A_2\underbrace{(n+a)(n+a-1)}_{2\text{ factores}}+A_1\underbrace{(n+a)}_{1\text{ factor}}+A_0.$$ Los coeficientes indeterminados $A_0,A_1,\ldots,A_k$ se pueden determinar dando a $n$ los valores $-a,$ $-(a-1),$ etcétera. Un vez descompuesto $P(n)$ en la forma mencionada, expresamos la serie en suma de varias, cancelamos factores en numeradores y denominadores, y aplicamos la fórmula que determina al número $e$ como suma de una serie: $$e=\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{1}{m!}.$$ 

    Enunciado
  1. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3n^2+2n+6}{(n+2)!}.$
  2. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+5n+1}{n!}.$
  3. Calcular la suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n^2+3n+1}{(n+5)!}.$
    Solución
  1. Descomponemos el numerador en la forma $$3n^2+2n+6=A_2(n+2)(n+1)+A_1(n+2)+A_0.$$ Trivialmente, $A_2=3,$ y dando a $n$ los valores $-2$ y $-1$ obtenemos $A_1=-7$ y $A_0=14.$ Usando el teorema del álgebra de series: $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3n^2+2n+6}{(n+2)!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3(n+2)(n+1)-7(n+2)+14}{(n+2)!}$$ $$=3\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(n+2)(n+1)}{(n+2)!}-7\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(n+2)}{(n+2)!}+14\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+2)!}$$ $$=3\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n!}-7\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)!}+14\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+2)!}$$ $$=3\left(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots\right)-7\left(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots\right)$$ $$+14\left(\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\cdots\right)=3(e-1)-7(e-2)+14(e-5/2)$$ $$=10e-24.$$
  2. Descomponemos el numerador en la forma $$n^2+5n+1=A_2n(n-1)+A_1n+A_0.$$ Trivialmente, $A_2=1,$ y dando a $n$ los valores $0$ y $1$ obtenemos $A_1=6$ y $A_0=1.$ Usando el teorema del álgebra de series: $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2+5n+1}{n!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n(n-1)+6n+1}{n!}$$ $$=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n(n-1)}{n!}+6\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{n!}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n!}$$ $$=\left(0+1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots\right)+6\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots\right)$$ $$+\left(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots\right)=e+6e+e-1=8e-1.$$
  3. Descomponemos el numerador en la forma$$2n^2+3n+1=A_2(n+5)(n+4)+A_1(n+5)+A_0.$$Trivialmente, $A_2=2,$ y dando a $n$ los valores $-5$ y $-4$ obtenemos $A_1=-15$ y $A_0=36.$ Usando el teorema del álgebra de series:$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2n^2+3n+1}{(n+5)!}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2(n+5)(n+4)-15(n+5)+36}{(n+5)!}$$$$=2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(n+5)(n+4)}{(n+5)!}-15\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(n+5)}{(n+5)!}+36\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+5)!}$$$$=2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+3)!}-15\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+4)!}+36\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+5)!}$$$$=2\left(\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\cdots\right)-15\left(\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\cdots\right)+36\left(\frac{1}{6!}+\frac{1}{7!}+\cdots\right)$$$$=2\left(e-1-\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)-15\left(e-1-\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}\right)$$$$+36\left(e-1-\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}\right)$$$$=23e-\frac{7501}{120}.$$
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