Sistemas diferenciales según parámetro

Enunciado
Para cada valor real del parámetro $a$ se considera la matriz

$A=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1-a}&{a}\end{bmatrix}.$

Clasificar los sistemas diferenciales $X’=AX.$

(Propuesto en examen, Amp. Mat., ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
Hallemos los valores propios de $A:$

$\begin{aligned}
\left|A-\lambda I\right|&= \lambda^2-(\mbox{tr}A)\lambda+\det A=\lambda^2-a\lambda+a-1=0\\
&\Leftrightarrow \lambda=\dfrac{a\pm \sqrt{a^2-4a+4}}{2}=\dfrac{a\pm (a-2)}{2}=\left \{ \begin{matrix} \begin{aligned}&\lambda_1=a-1\\&\lambda_2=1.\end{aligned}\end{matrix}\right.
\end{aligned}$

Tenemos los siguientes casos:

(a) Si $a=2$ el único valor propio es $\lambda_1=1$ (doble). La matriz $A$ no es en este caso diagonalizable y por tanto, tenemos un nodo de Jordan (inestable al ser $\lambda_1>0$).

(b) Si $a\in (-\infty,1)$ los valores propios son $\lambda_1=a-1<0$ y $\lambda_2=1>0,$ es decir tenemos un puerto.

(c) Si $a\in (1,2)\cup (2,+\infty)$ los valores propios son $\lambda_1=a-1>0$ y $\lambda_2=1>0,$ (distintos), con lo cual tenemos un nodo inestable.

(d) Si $a=1$ los valores propios son $\lambda_1=0$ y $\lambda_2=1>0,$ y la configuración es un nodo inestable degenerado.