Bloque de Jordan

Publicada el junio 30, 2014 por Fernando Revilla

En los siguiente ejercicios usamos el concepto de bloque de Jordan.

RESUMEN TEÓRICO
  • Definición.  Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y $A\in\mathbb{K}^{m\times m}.$ Se dice que $A$ es un bloque de Jordan de orden $m,$ si es de la forma: $$A=\begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 1 &  \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda &  \ldots & 0 & 0 \\\vdots&&&&&\vdots \\ 0 & 0 & 0 &\ldots & \lambda  & 1 \\ 0 & 0 & 0 &\ldots & 0  & \lambda\end{bmatrix}.$$
  • Ejemplos.   Las siguientes matrices son bloques de Jordan:
    $\begin{aligned}&1.\quad A=\begin{bmatrix}{5}&{1}&{0}\\{0}&{5}&{1}\\{0}&{0}&{5}\end{bmatrix}\quad (m=3,\lambda=5).\\
    &2.\quad A=\begin{bmatrix}{-1}&{1}\\{0}&{-1}\end{bmatrix}\quad (m=2,\lambda=-1).\\&3.\quad A=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}& 0\\{0}&{0}&{1}&0\\{0}&{0}&{0}&1\\{0}&{0}&{0}&0\end{bmatrix}\quad (m=4,\lambda=0).\\
    &4.\quad A=\begin{bmatrix}7\end{bmatrix}\quad (m=1,\lambda=7).\end{aligned}$
  • Teorema. Si $A$ es un bloque de Jordan de orden $m$ con $\lambda=0,$ entonces $A$ es nilpotente de orden $m.$
  • Ejemplo. $$\begin{aligned}&A=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\Rightarrow A^2=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\\& \Rightarrow A^3=A^2A=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}.\end{aligned}$$ Es decir, $A$ es nilpotente de orden $3.$ Nótese que las sucesivas potencias de $A$ se obtienen desplazando hacia arriba las «lineas» de unos.
  • Observación.  Todo bloque de Jordan $A$ se puede expresar en la forma $A=\lambda I+N$ con $N$ nilpotente y $(\lambda I)N=N(\lambda I),$ en consecuencia es útil hallar la potencia enésima de $A$ usando la fórmula del binomio de Newton.
    Enunciado
  1. Comprobar que la siguiente matriz es nilpotente de orden $4$ $$A=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}& 0\\{0}&{0}&{1}&0\\{0}&{0}&{0}&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}.$$
  2. Hallar $A^n$ siendo $A=\begin{bmatrix}{3}&{1}\\{0}&{3}\end{bmatrix}.$
  3. Calcular $A^n,$ siendo $A=\begin{bmatrix}{3}&{1}&{0}& 0&0
    \\{0}&{3}&{0} & 0 & 0
    \\{0}&{0}&{-1}& 1& 0
    \\{0}&{0}&{0} & -1 & 1
    \\{0}&{0}&{0} & 0 &-1\end{bmatrix}.$
    Solución
  1. Tenemos: $$A^2=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}& 0\\{0}&{0}&{1}&0\\{0}&{0}&{0}&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}& 0\\{0}&{0}&{1}&0\\{0}&{0}&{0}&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}& 0\\{0}&{0}&{0}&1\\{0}&{0}&{0}&0\\0&0&0&0\end{bmatrix},$$ $$A^3=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}& 0\\{0}&{0}&{0}&1\\{0}&{0}&{0}&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}& 0\\{0}&{0}&{1}&0\\{0}&{0}&{0}&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}& 1\\{0}&{0}&{0}&0\\{0}&{0}&{0}&0\\0&0&0&0\end{bmatrix},$$ $$A^4=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}& 1\\{0}&{0}&{0}&0\\{0}&{0}&{0}&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}& 0\\{0}&{0}&{1}&0\\{0}&{0}&{0}&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}& 0\\{0}&{0}&{0}&0\\{0}&{0}&{0}&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}.$$ Es decir, $A$ es nilpotente de orden $4.$
  2. Tenemos $A=3I+N$ con $I$ la matriz identidad y $N=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}.$ Entonces:$$N^2=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\;N^3=N^4=\ldots=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}$$Aplicando la fórmula del binomio de Newton:$$\begin{aligned}A^n&=\left(3I+N\right)^n=\binom{n}{0}(3I)^n+\binom{n}{1}(3I)^{n-1}N+\binom{n}{2}(3I)^{n-2}N^2+\cdots\\
    &=3^nI+n3^{n-1}\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}+\cdots+\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\\
    &=3^n\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}+n3^{n-1}\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3^n}&{n3^{n-1}}\\{0}&{3^n}\end{bmatrix}.\end{aligned}$$
  3. La matriz $A$ es de la forma $$A=\begin{bmatrix}{A_1}&{0}\\{0}&{A_2}\end{bmatrix}\text{ con }A_1=\begin{bmatrix}{3}&{1}\\{0}&{3}\end{bmatrix},\;A_2=\begin{bmatrix}{-1}&{1}& 0\\{0}&{-1}& 1\\0&0&-1\end{bmatrix},$$ por tanto la matriz $A^n$ es $A^n=\begin{bmatrix}{A_1^n}&{1}\\{0}&{A_2^n}\end{bmatrix}.$ La matriz $A_1^n$ se calculó en el apartado anterior: $$A_1^n=\begin{bmatrix}{3^n}&{n3^{n-1}}\\{0}&{3^n}\end{bmatrix}.$$ Usamos la fórmula del binomio de Newton para hallar $A_2^n.$ Denotando $$N=\begin{bmatrix}{0}&{1}& 0\\{0}&{0}& 1\\0&0&0\end{bmatrix}:$$ $$\begin{aligned}A_2^n&=\left(-I+N\right)^n=\binom{n}{0}(-I)^n+\binom{n}{1}(-I)^{n-1}N+\binom{n}{2}(-I)^{n-2}N^2+\cdots\\
    &=(-1)^nI+n(-1)^{n-1}\begin{bmatrix}{0}&{1}&0\\{0}&{0}& 1\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}+\frac{n(n-1)}{2}\begin{bmatrix}{0}&{0}&1\\{0}&{0}& 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}
    \\&+\begin{bmatrix}{0}&{0}&0\\{0}&{0}& 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}+\cdots+\begin{bmatrix}{0}&{0}&0\\{0}&{0}& 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}\\
    &=\begin{bmatrix}{(-1)^n}&{(-1)^{n-1}n}&(-1)^{n-2}n(n-1)/2\\{0}&{(-1)^n}& (-1)^{n-1}n\\0 & 0 & (-1)^n\end{bmatrix}\end{aligned}$$ Queda por tanto $$A^n=\begin{bmatrix}3^n & n3^{n-1} & 0 & 0 & 0\\0 & 3^n & 0 &0 & 0\\0 & 0 &{(-1)^n}&{(-1)^{n-1}n}&(-1)^{n-2}n(n-1)/2\\0 & 0 & {0}&{(-1)^n}& (-1)^{n-1}n\\0 & 0 &0 & 0 & (-1)^n\end{bmatrix}.$$
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