- Hallar los ceros de la función $f(z)=z^4+4z^2$ y determinar sus órdenes.
- Hallar los ceros de $f(z)=1+\cos z$ y determinar sus multiplicidades.
- Hallar el orden del cero $z_0=0$ para la función $f(z)=\dfrac{z^8}{z-\sin z}.$
- Hallar los ceros de la función $f(z)=(z^2+1)^3\sinh z$ determinando sus órdenes.
- Dado el polinomio complejo $$p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1 z +a_0$$ demostrar que si $|a_{n-1}|+\cdots+|a_0|<1$ entonces todas las raíces de $p(z)$ pertenecen al disco unidad $\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}:|z| < 1\}$.
Sugerencia. Demostrar que si $g(z)= 1+a_{n-1}z + \cdots + a_1z^{n-1}+a_0 z^n$, entonces $g(z)\ne 0$ para todo $z\in\mathbb{D}.$
Enunciado
- Ceros de $f:$ $$z^4+4z^2=0\Leftrightarrow z^2(z^2+4)=0\Leftrightarrow z=0\vee z=\pm 2i.$$ Tenemos $f'(z)=4z^3+8z,\;f^{\prime\prime}(z)=12z^2+8.$ Entonces, $$\begin{aligned}&f(0)=0,\;f'(0)=0,\;f^{\prime\prime}(0)=8\neq 0.\\
&f(2i)=0,\;f'(2i)=-16i\neq 0.\\
&f(-2i)=0,\;f'(-2i)=16i\neq 0.\end{aligned}$$ Por tanto, $z=0$ es cero doble y $z=\pm 2i$ son ceros simples.
Otra forma: $f(z)=z^2(z^2+4)$ con $\varphi(z)=z^2+4,$ $\varphi(z)$ analítica en un entorno de $0$ (en realidad en todo $\mathbb{C}$) y $\varphi(0)\neq 0.$ Es decir, $0$ es cero doble de $f.$ Por otra parte, $$f(z)=(z-2i),\quad\varphi_1(z)=z^2(z+2i),$$ con $\varphi_1(z)$ analítica en un entorno de $2i$ y $\varphi(2i)\neq 0.$ Es decir, $2i$ es cero simple de $f.$ Análogo razonamiento para $-2i.$ - Ceros de $f:$ $$\begin{aligned}&1+\cos z=0\Leftrightarrow \cos z=-1\Leftrightarrow \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=-1\Leftrightarrow e^{iz}+\frac{1}{e^{iz}}=-2\\
& \Leftrightarrow e^{2iz}+2e^{iz}+1=0 \Leftrightarrow (e^{iz}+1)^2=0\Leftrightarrow e^{iz}+1=0\Leftrightarrow e^{iz}=-1.\end{aligned}$$ Llamando $z=x+iy$ con $x,y$ reales: $$\begin{aligned}&e^{iz}=-1\Leftrightarrow e^{-y+ix}=-1\Leftrightarrow e^{-y}(\cos x +i\sin x)=1(\cos \pi+i\sin \pi)\\
&\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} e^{-y}=1\\x=(2k+1)\pi\;(k\in\mathbb{Z})\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} y=0\\x=(2k+1)\pi\;(k\in\mathbb{Z})\end{matrix}\right.\\
&\Leftrightarrow z=(2k+1)\pi\;(k\in\mathbb{Z}).\end{aligned}$$Determinemos las multiplicidades $$f'(z)=-\sin z\Rightarrow f’\left((2k+1)\pi\right)=0,$$$$f^{\prime\prime}(z)=-\cos z\Rightarrow f^{\prime\prime}\left((2k+1)\pi\right)=-\cos \left((2k+1)\pi\right)=1\neq 0.$$ Todos los ceros son dobles. - Podemos expresar: $$f(z)=\frac{z^8}{z-\left(z-z^3/3!+z^5/5!+\cdots\right)}=\frac{z^8}{z^3/3!-z^5/5!+\cdots}$$$$=\frac{z^5}{1/3!-z^2/5!+\cdots}=z^5\cdot \frac{1}{1/3!-z^2/5!+\cdots}.$$Entonces, $\lim_{z\to 0}f(z)=0,$ lo cual implica por el teorema de Riemann que la función $f(z)$ es analítica en un entorno de $0$ si definimos $f(0)=0.$ Dado que $$\varphi (z)=\dfrac{1}{1/3!-z^2/5!+\cdots}$$ es analítica en un entorno de $0$ y $\varphi (0)=3!\neq 0,$ concluimos que $z_0=0$ es cero quíntuple de la función dada.
- Ceros de $f:$ $$(z^2+1)^3\sinh z=0\Leftrightarrow (z^2+1)^3=0\vee \sinh z=0\Leftrightarrow z=\pm i\vee \sinh z=0.$$ Por otra parte, $$\sinh z=0\Leftrightarrow \frac{e^z-e^{-z}}{2}=0\Leftrightarrow e^z-\frac{1}{e^z}=0 \Leftrightarrow e^{2z}-1=0.$$ Llamando $z=x+iy$ con $x,y$ reales: $$\begin{aligned}&e^{2z}=1\Leftrightarrow e^{2x+2yi}=1\Leftrightarrow e^{2x}(\cos 2y +i\sin 2y)=1(\cos 0+i\sin 0)\\
&\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} e^{2x}=1\\2y=2k\pi\;(k\in\mathbb{Z})\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x=0\\y=k\pi\;(k\in\mathbb{Z})\end{matrix}\right. \Leftrightarrow z=k\pi i\;\;(k\in\mathbb{Z}).\end{aligned}$$ Determinemos el orden de los ceros. Tenemos: $$f(z)=(z-i)^3\left[(z+i)^3\sinh z\right].$$ La función $\varphi (z)=(z+i)^3\sinh z$ es analítica en un entorno de $i$ (en realidad en todo $\mathbb{C}$) y además $\varphi (i)=-8i\sinh i\neq 0,$ luego $i$ es cero triple de $f.$ También $-i$ es cero triple (análogo razonamiento). La derivada de $f$ es $$\begin{aligned}&f'(z)=3(z^2+1)^22z\sinh z+(z^2+1)^3\cosh z\\
&=(z^2+1)\left[6z\sinh z+(z^2+1)\cosh z\right].\end{aligned}$$ No es difícil comprobar que que $f'(k\pi i)\neq 0$ lo cual implica que $k\pi i$ es cero simple. Podemos concluir: $$\left \{ \begin{matrix} z=\pm i& \mbox{ ceros triples,}\\z=k\pi i\;\;(k\in\mathbb{Z}) & \mbox{ ceros simples.}\end{matrix}\right.$$ - Demostremos el aserto de la sugerencia. Supongamos que tenemos $g(z)=0$ para algún $z\in \mathbb{D}$ es decir, $-1 = a_{n-1}z + \cdots +a_1z^{n-1}+ a_0 z^n$ para algún $z$ con $|z|<1.$ Tomando módulos, $$1 = | a_{n-1}z + \cdots +a_1z^{n-1}+ a_0 z^n |$$ $$\leq |a_{n-1}| |z| + \cdots +|a_1||z|^{n-1}+|a_0||z|^n < |a_{n-1}| + \cdots + |a_0|$$ lo cual contradice nuestra hipótesis.
Para $z\ne 0$ tenemos $$z^ng\left(\dfrac{1}{z}\right)=z^n \left(1+a_{n-1}\dfrac{1}{z} + \cdots + a_1\dfrac{1}{z^{n-1}}+a_0 \dfrac{1}{z^n}\right)$$ $$=z^n\dfrac{z^n+a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1 z +a_0}{z^n}=p(z).$$ Supongamos que $z\ne 0$ es raíz de $p(z).$ Entonces, $$p(z)=0\Rightarrow g\left(\dfrac{1}{z}\right)=0\Rightarrow \dfrac{1}{z}\notin \mathbb{D}\Rightarrow \dfrac{1}{|z|}\ge 1 \Rightarrow |z|\le 1.$$ No puede ser $|z|=1$ pues en tal caso, de $$-z^n=a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1 z +a_0$$ se tendría tomando módulos que $$1\le |a_{n-1}|+\cdots +|a_0|$$ en contradicción con la hipótesis.
Solución
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