Concepto de solución de un sistema autónomo

Enunciado
1.  Comprobar que la función $$\varphi:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to \mathbb{R}^2,\quad\varphi (t)=\begin{bmatrix}{\tan t}\\{\cos^2t}\end{bmatrix}$$ es solución del sistema diferencial autónomo: $$\left \{ \begin{matrix} x’_1=1+x_1^2\\x’_2=-2x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0\\x_2(0)=1.\end{matrix}\right.$$ 2.  Interpretar físicamente el concepto de solución del sistema autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x’=v(x)\\x(0)=x_0.\end{matrix}\right.$$

Solución
1.  Veamos que se verifican las condiciones de solución:

$1)\;$ $0$ pertenece al intervalo $J=(-\pi/2,\pi/2).$
$2)\;$ $\varphi (J)\subset M$ pues el campo vectorial $v(x_1,x_2)=(1+x_1^2,-2x_1x_2)^T$ está definido en $M=\mathbb{R}^2.$
$3)\;$ Para todo $t\in J$ se verifica: $$\varphi'(t)=\begin{bmatrix}{\sec^2 t}\\{-2\operatorname{sen}t\cos t}\end{bmatrix},$$ es decir $\varphi$ es derivable en $J.$
$4)\;$ Para todo $t\in J$ se verifica: $$v\left[\varphi (t)\right]=v\begin{bmatrix}{\tan t}\\{\cos^2t}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1+\tan^2 t}\\{-2\tan t \cos t}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\sec^2 t}\\{-2\operatorname{sen}t\cos t}\end{bmatrix}=\varphi'(t).$$ $5)\;$ $\varphi (0)=\begin{bmatrix}{\tan 0}\\{\cos^20}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}\\{1}\end{bmatrix}.$

2.  Si $t$ representa la variable tiempo, una solución $\varphi(t)$ del sistema representa el movimiento de una partícula en $\mathbb{R}^n$ que en el instante de tiempo $t=0$ pasa por $x_0$ y que en todo instante de tiempo $t\in J,$ la velocidad $\varphi’ (t)$ es justamente el vector campo $v$ particularizado en $\varphi (t).$